多元環とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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多元環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:41 UTC 版)

数学において、多元環（たげんかん、algebra）とは可換環上の加群としての構造を持ち、その構造と両立しているような積を持つ代数的構造のことである。algebra を直訳して代数（だいすう）と呼ぶことも多い。また、ブルバキの数学原論では（結合的なものを）線型環（せんけいかん）と呼んでいる。

[続きの解説]

「多元環」の続きの解説一覧

1 多元環とは
2 多元環の概要

対合環

(多元環から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/04/24 08:51 UTC 版)

数学、特に抽象代数学における対合環（ついごうかん、英: involutive ring, involutory ring）、 $*$ -環（スターかん、英: ∗-ring）^{[注 1]}あるいは対合付き環（ついごうつきかん、英: ring with involution）は、環構造と両立する対合（共軛演算、随伴）を備える代数系である。可換 $*$ -環 $R$ 上の結合多元環 $A$ がそれ自身 $*$ -環でもあるとき、二つの $*$ -環の $*$ -構造が両立するならば、 $A$ を $*$ -環 $R$ 上の 対合多元環（ついごうたげんかん、英: involutive algebra; 対合代数）、 $*$ -多元環（スターたげんかん、英: ∗-algebra; $*$ -代数）あるいは対合付き多元環（ついごうつきたげんかん、英: algebra with involution; 対合つき代数）という。

注記

^ 記法について: 対合 $*$ は後置により表される単項演算で、そのグリフはミーンライン付近やや上方に中心がくるように右肩にのせて

$x \mapsto x *$ ,

$x \mapsto x *$ (TeX: x^*),

のように書くが、" $x *$ " のように中心がミーンライン上にくるようにはしない（スター記号 * (&ast;) とスター演算記号 ∗ (&lowast;) との混同に注意: アスタリスクの項も参照）。
^ 即ち（通常の多元環がそうであるように）、 $R$ を $A$ の中心に埋め込んで考えるとき、 $R$ の元によるスカラー倍は $A$ における乗法として実現できる（例えば行列のスカラー倍はスカラー行列を掛けることと同値）が、 $R$ の元が $A$ において中心的（すなわち $r \in R, x \in A$ ならば $rx = xr$ ）であることに注意すれば、 $r \in R, x \in A$ について

$(rx) J = x J r J = r J x J$

となるから、共軛元によるスカラー倍についても $A$ の内部演算として矛盾なく実現される。
^ $X$ を環 $R$ 上の不定元とすると、二重数環は $R [ε] = R [X]/(X 2)$ と書けて、その無限小 $ε = X mod (X 2)$ の生成する単項イデアル $(ε)$ を取れば、 $R [ε]/(ε) = R$ になるのであった。