元_(数学)とは?

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元 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/01/06 16:24 UTC 版)

数学において(げん、: element)とは、集合を構成する個々の数学的対象のことである。ジュゼッペ・ペアノの導入した記法[1]に従えば、対象 x が集合 E の元であることを xE と書き表す。このとき対象 x が集合 E属する(ぞくする、: membership)、あるいは集合 E は対象 x を含む[注釈 1]とも言う。


  1. ^ 「含む」「含まれる」などの語は集合の包含関係などにも用いるため紛らわしい(赤摂也は部分集合として含む、含まれるという代わりに「包む」「包まれる」とすることを提唱した[2])。包含関係は帰属関係を用いて 「集合 A が集合 B に含まれる」 :⇔A の任意の元が B の元として属す」 と定めることができる。
  2. ^ が、特定の集合からなる部分類の上に限れば推移的となり得る。よく知られる例としては順序数全体の成す類がある。
  3. ^ 少なくとも、 {1, 2} ≠ 1, {1, 2} ≠ 2, {1, 2} ≠ 3, {3} ≠ 1, {3} ≠ 2, {3} ≠ 3 などが証明できる。
  1. ^ Hans Freudenthal, « Notation mathématique », Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.
  2. ^ 松坂和夫 『集合・位相入門』 岩波書店、1968年ISBN 978-4000054249
  3. ^ (de) Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Leipzig, Teubner,‎ 1894-1895, page 481 [Lire en ligne sur Gallica (page consultée le 14 avril 2009)]
  4. ^ Voir René Cori および Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions], chapitre 7, p. 113-114 notamment
  5. ^ (en) Felix Hausdorff, Set theory, AMS Chelsea Publishing,‎ 1957 (rééd. 2000) (1937 pour l'édition allemande) (ISBN 0821838350),
  6. ^ Ces trois suggestions sont proposées par (en) Yiannis Moschovakis, Notes on set theory, Springer,‎ (ISBN 9780387287232) p. 29.


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