フィッツジェラルドローレンツ‐しゅうしゅく〔‐シウシユク〕【フィッツジェラルドローレンツ収縮】
読み方：ふぃっつじぇらるどろーれんつしゅうしゅく
ローレンツ変換
(フィッツジェラルド-ローレンツ収縮 から転送)
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ローレンツ変換（ローレンツへんかん、英: Lorentz transformation）は、2 つの慣性系の間の座標（時間座標と空間座標）を結びつける線形変換で、電磁気学と古典力学間の矛盾を回避するために、アイルランドのジョセフ・ラーモア（1897年）とオランダのヘンドリック・ローレンツ（1899年、1904年）により提案された。
アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論（1905年）を構築したときには、慣性系間に許される変換公式として、理論の基礎を形成した。特殊相対性理論では全ての慣性系は同等なので、物理法則はローレンツ変換に対して不変な形、すなわち同じ変換性をもつ量の間のテンソル方程式として与えられなければならない。このことをローレンツ不変性（共変性）をもつという。
幾何学的には、ミンコフスキー空間における 2 点間の世界間隔を不変に保つような、原点を中心にした回転変換を表す（ミンコフスキー空間でみたローレンツ変換節参照）。
概要
ローレンツ変換は、マイケルソン・モーリーの実験結果を矛盾なく説明する手段として提案された。ローレンツは、時間の流れや光速度はすべての基準座標系において同一と考えたため、「大きな速度で動く座標系では、2点間の距離（物体の長さ）は縮む」というローレンツ収縮を示した(ローレンツ・フィッツジェラルド収縮仮説)。しかし、ローレンツ収縮は実験結果と矛盾した。後に、アインシュタインは、光速度の不変性と物理法則の相対性（「物理法則はあらゆる慣性系間で同一である」）の 2 つを原理として、特殊相対性理論を築いた。そこでは、ローレンツ変換からの帰結として、時間の進み方が観測者によって異なることが示された。
ガリレイ変換は、等速運動をする慣性系間の座標変換であり、ニュートンの運動方程式は不変な形で変化するが、マクスウェルの方程式では満足されない古典的な座標変換である。ローレンツ変換は、マクスウェル方程式を不変な形で変換する。また慣性系の動く速度 v が、光速度 c に比べて十分小さい場合（v/c → 0 と見なせる場合）を考えると、ローレンツ変換はガリレイ変換を再現する。したがって、非相対論的な極限でガリレイ不変性が成立しているという事実もローレンツ変換で説明できる。
ローレンツ変換のうち、空間と時間が関与する方向への変換をローレンツブースト (英: Lorentz boost) と呼ぶ。特殊相対論が導く、我々の直感に反する事柄のほとんどは、このローレンツブーストからの帰結である。一方で、空間同士が関与する変換はただの空間回転である。
物理的導入
ローレンツ変換は、ある慣性系 S における空間および時間座標（あるいは任意の 4元ベクトル）を、x-軸に沿った S に対する相対速度 v で移動する別の慣性系 S′ へ変換する際に使用される群作用である。原点 (0, 0, 0, 0) を共有する、S における時空座標 (t, x, y, z) と S′ における時空座標 (t′, x′, y′, z′) で記述される事象の座標系は、以下のローレンツ変換によって関連づけられる。
歴史
ローレンツはこの変換がマクスウェル方程式を不変な形で変換することを、1900年に発見した。ローレンツは導光性エーテル仮説を信じており、この変換に適切な基礎を提供する相対性理論を発見したのは、アルベルト・アインシュタインであった。
ローレンツ変換は1904年に初めて発表されたが、当時これらの方程式は不完全であった。フランスの数学者アンリ・ポアンカレが、ローレンツの方程式を、今日知られている整合性の取れた 4 つの方程式に修正した。
ローレンツ＝フィッツジェラルド収縮
ローレンツの解釈
長さの収縮を参照
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相対論的解釈
アインシュタインの解釈によれば、観測者に対して運動する物体は縮んで観測される。
例として、x-軸方向に長さを持つ物体が、観測者 A （xyzw-座標系）に対して x-軸正方向に速度 v で等速直線運動する場合を考える (w = ct)。この物体と共に運動する観測者 B （x′y′z′w′-座標系）にはこの物体の長さが l で観測されるとする(w′ = ct′)。これはすなわち、観測者 B にとって同時刻に観測したときに、物体の端と端の x′-座標の値の差が l であることを示す。
t′ = 0 のとき、物体の片端が x′ = 0、もう一方の端が x′ = l にあるとする。このとき、物体の軌跡は {(x′, w′) | 0 ≤ x′ ≤ l} となり、右図薄青部である。ここで、
相対論
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| 発展 理論 |
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カテゴリ
| 典拠管理データベース: 国立図書館 |
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長さの収縮
(フィッツジェラルド-ローレンツ収縮 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/11 23:06 UTC 版)
長さの収縮（ながさのしゅうしゅく、length contraction) は、運動する物体の長さが、自身の静止系で測定される長さである固有長(proper length)よりも短く測定される現象[1]。ローレンツ収縮やローレンツ・フィッツジェラルド収縮（ヘンドリック・ローレンツとジョージ・フィッツジェラルドにちなむ）とも呼ばれる。物体が進んでいる方向のみに生じる。普通の物体ではこの効果は日常的な速度では無視でき、物体が観察者に対して光速に近づくときのみ重要となる。
歴史
長さの収縮は、マイケルソン・モーリーの実験の否定的な結果を説明し、静止エーテルの仮説を救うためにジョージ・フィッツジェラルド(1889)とヘンドリック・ローレンツ(1892)により仮定された（ローレンツ・フィッツジェラルド収縮仮説）[2][3]。フィッツジェラルドとローレンツの両者は、運動する電荷がつくる電場が変形するという事実に言及したが（オリヴァー・ヘヴィサイドにちなむヘヴィサイド楕円体、ヘヴィサイドは1888年に電磁理論からこれを導出した）、当時分子間力が電磁力と同じふるまい方をすると推測するに十分な理由がなかったため、長さの収縮はアドホックな仮説と見なされた。1897年、ジョゼフ・ラーモアが全ての力が電磁気的な起源を持つと考えられるモデルを開発し、長さの収縮はこのモデルの直接的な結果として現れた。しかしアンリ・ポアンカレ(1905)により電磁気力だけでは電子の安定性を説明できないことが示された。そのため彼は別のアドホックな仮説を導入しなければならなかった。それは非電気的結合力（ポアンカレ応力）であり、これを用いてポアンカレは電子の安定性を確実にし、長さの収縮を動力学的に説明し、それにより静止エーテルに対する運動を覆い隠した[4]。
最終的には、アルベルト・アインシュタイン(1905)が、仮想的なエーテルの中を動く運動を用いずに、特殊相対性理論を使うことでこの収縮を説明し、我々の空間、時間、同時性の概念を変え、収縮仮説からアドホックな特徴を初めて[4]完全に取り除いた[5]。アインシュタインの考えは、自身の4次元時空の概念を導入することで全ての相対論的効果の幾何学的解釈を論証したヘルマン・ミンコフスキーによりさらに洗練された[6]。
相対性理論の基礎
初めに静止している物体と動いている物体の長さを測定する方法を慎重に検討する必要がある[7]。ここで「物体」とは常に相互に静止している、すなわち同じ慣性系で静止している端点を持つ距離を意味するだけである。観測者（もしくは測定器）と観測される物体との間の相対速度がゼロであれば、物体の固有長
観測者はポアンカレ・アインシュタイン同期に従い光信号を交換するか(a)、「スロークロック輸送」（1つの時計がすなわち1つの時計が消える輸送速度の限界で時計の列に沿って輸送される）(b)のどちらかにより同期された時計の列をinstallする。同期処理が終了すると、物体は時計の列に沿って移動され、全ての時計が物体の左端もしくは右端が通過した正確な時間を記憶する。その後、観測者は物体の左端が通過した時刻を記憶している時計Aと、物体の右端が「同時に」通過した時刻を記憶する時計Bの位置を見るだけで良い。距離ABが運動した物体の長さ
長さの収縮は、座標系にしたがい同時に位置を測定することである。これは高速で動く物体の写真を撮ることができれば、物体が運動方向に収縮していることをその写真により示すことができることを示唆しているかもしれない。しかし、このような視覚効果は写真が遠くから撮影されるため、測定値と全く異なり、長さの収縮は物体の端点の正確な位置でのみ直接測定できる。ロジャー・ペンローズやJames Terrellらにより運動する物体は普通、写真においては長さが収縮して見えないことが示された[23]。この結果はPhysics Todayのarticleでヴィクター・ワイスコフにより一般化された[24]。例えば、小さな角直径の場合、運動する球体は円形のまま回転している[25]。この種の視覚的な回転効果はPenrose-Terrell回転と呼ばれる[26]。
導出
ローレンツ変換を用いる場合
長さの収縮はローレンツ変換からいくつかの方法により導出できる。
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ユークリッドおよびミンコフスキー時空の直方体 幾何学的な考察を加えると、長さの収縮は三角法の現象とみなすことができ、E3における回転の前後に直方体を通る平行な切片に類似している（右の左半分の図参照）。これはE1,2の直方体を押し上げるユークリッド的な類似である。しかし、後者の場合は押し上げられた直方体を動く板の世界スラブ(world slab)と解釈することができる。
画像: 左: 3次元ユークリッド空間E3で回転した直方体。断面は回転前よりも回転方向に長くなっている。右: ミンコフスキー時空（1つの空間次元が隠された）E1,2にある動く薄板の世界スラブで、押し上げられた直方体。押し上げられた方向の断面がその前よりも薄くなっている。いずれの場合も横方向は影響を受けず、直方体のそれぞれの隅で重なる3つの平面は相互に直交している（右はE1,2の意味で、左はE3の意味で）。
特殊相対性理論では、ポアンカレ変換はアフィン変換の1つであり、慣性運動の代わりの状態（および原点の選び方の違い）に対応するミンコフスキー時空上の代わりのデカルト座標図の間の変換として特徴づけられる。ローレンツ変換は線形変換である（原点を維持する）ポアンカレ変換である。ローレンツ変換は、ミンコフスキー幾何学では、ユークリッド幾何学で回転がする役割と同じ役割をする（ローレンツ群は時空の自己等長の等方群を形成する）。実際、特殊相対性理論は以下の表で示されるように、主にミンコフスキー時空の一種の非ユークリッド三角法を勉強することに帰着する。
3つの平面三角法 三角法 円 放物線 双曲線 クライン幾何学 ユークリッド平面 ガリレオ平面 ミンコフスキー平面 記号 E2 E0,1 E1,1 二次形式 正定値 退化 非退化であるが非定義 等長群 E(2) E(0,1) E(1,1) 等方群 SO(2) SO(0,1) SO(1,1) 等方性の種類 回転(rotations) shears boosts Rを超えた代数 複素数 二重数 分解型複素数 ε2 -1 0 1 時空の解釈 なし ニュートン時空 ミンコフスキー時空 傾斜 tan φ = m tanp φ = u tanh φ = v コサイン cos φ = (1+m2)−1/2 cosp φ = 1 cosh φ = (1-v2)−1/2 サイン sin φ = m (1+m2)−1/2 sinp φ = u sinh φ = v (1-v2)−1/2 セカント sec φ = (1+m2)1/2 secp φ = 1 sech φ = (1-v2)1/2 コセカント csc φ = m−1 (1+m2)1/2 cscp φ = u−1 csch φ = v−1 (1-v2)1/2 脚注
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- ^ FitzGerald, George Francis (1889), “The Ether and the Earth's Atmosphere”, Science 13 (328): 390, Bibcode: 1889Sci....13..390F, doi:10.1126/science.ns-13.328.390, PMID 17819387
- ^ Lorentz, Hendrik Antoon (1892), “The Relative Motion of the Earth and the Aether”, Zittingsverlag Akad. V. Wet. 1: 74–79
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- ^ Minkowski, Hermann (1909), “Raum und Zeit”, Physikalische Zeitschrift 10: 75–88
-
- Various English translations on Wikisource: Space and Time
-
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- ^ Can You See the Lorentz-Fitzgerald Contraction? Or: Penrose-Terrell Rotation
- ^ Bernard Schutz (2009). “Lorentz contraction”. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. p. 18. ISBN 978-0521887052
- ^ David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker (2010), Fundamentals of Physics, Chapters 33-37, John Wiley & Son, pp. 1032f, ISBN 978-0470547946
外部リンク
- Physics FAQ: Can You See the Lorentz–Fitzgerald Contraction? Or: Penrose-Terrell Rotation; The Barn and the Pole
- 『ローレンツ収縮』 - コトバンク
特殊
相対論背景 基礎 公式 結果 時空 
一般
相対論背景 基礎 現象 方程式 - 線形化重力
- PPN形式
- アインシュタイン方程式
- 測地線
- フリードマン方程式
- ADM形式
- BSSN形式
- ハミルトン＝ヤコビ＝アインシュタイン方程式
発展
理論- カルツァ＝クライン理論
- 量子重力理論
- ブランス＝ディッケ理論
解 科学者 
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