か‐げん【下限】
下限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/28 02:05 UTC 版)
2011年9月、4chanの匿名投稿者がn記号の超置換 (n ≥ 2) の長さは少なくとも n! + (n−1)! + (n−2)! + n − 3 以上であることを証明した。この証明が大衆の関心を引いたのは、2018年10月に数学者、計算機科学者のロビン・ヒューストンがツイートして以降である。2018年10月25日、ロビン・ヒューストン、ジェイ・パントン、ヴィンス・ヴァッターはこの証明をより洗練させたものをOEISに投稿した。
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下限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/11 14:00 UTC 版)
半径1の半円はL字型の通路を通すことができるので、Aの下界の一つとして A ≥ π 2 ≈ 1.570796327 {\displaystyle \scriptstyle A\,\geq \,{\frac {\pi }{2}}\,\approx \,1.570796327} が容易に得られる。 ジョン・ハマーズレイ（英語版）はより優れたAの下界の一つを発見した。 1 × 4 π {\displaystyle 1\times {\frac {4}{\pi }}} の長方形の両脇に半径1の四分円を接合させた図形から、直径 4 π {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}} の半円をくりぬいた受話器型のソファで、 A ≥ π 2 + 2 π , ≈ 2.207416099 {\displaystyle \scriptstyle A\,\geq \,{\frac {\pi }{2}}+{\frac {2}{\pi }},\approx \,2.207416099} となる。 1992年にジョセフ・ジャーバー（Joseph Gerver）によって、18の線（3の直線と15の曲線）からなる図形により、さらに優れたAの下界の一つ 2.219531669... が示された。
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下限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 14:22 UTC 版)
ドナルド・クヌースは、The Art of Computer Programming の中で、k 番目に小さい要素を n 個の要素から（比較だけで）選択するのに必要な比較回数の下限を論じている。最大値または最小値を求めるのに必要な比較回数の下限は n − 1 である。これを求めるために各試合で1回の比較を行うトーナメントを想定する。トーナメント優勝者以外の選手は優勝者が決定するまでに必ず1回負けているので、比較回数の下限が n − 1 となるのである。 1番目以外では話はやや複雑になる。k 番目に小さい値を求めるには少なくとも以下の回数の比較が必要である。 n − k + ∑ n + 1 − k < j ≤ n ⌈ log 2 j ⌉ {\displaystyle n-k+\sum _{n+1-k<j\leq n}\lceil {\log _{2}j}\rceil } この下限は k=2 のとき成り立つが、さらに大きな k ではもっと複雑な下限が存在する。
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