(・∀・ )

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全称記号

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/28 09:29 UTC 版)

「∀」はこの項目へ転送されています。略称が「∀」の作品については「∀ガンダム」を、その作品に登場するモビルスーツについては「∀ガンダム (架空の兵器)」をご覧ください。

∀

全称記号（ぜんしょうきごう、universal quantifier）とは、数理論理学において「全ての」（全称量化）を表す記号である。通常「∀」と表記され、全称量化子（ぜんしょうりょうかし）、全称限量子（ぜんしょうげんりょうし）、全称限定子（ぜんしょうげんていし）、普遍量化子（ふへんりょうかし）、普通限定子（ふつうげんていし）^[1]などとも呼ばれる。

記号の意味

「P(x)」という開論理式（英語版）が与えられたとき、これが意味するところは「……はPである」ということだけで、これだけでは真偽が確定しない。そこで、「P(x)」に現れている自由変項「x」を量化子によって束縛することにより、新たに閉論理式（英語版）が得られる。このような閉論理式は、しかるべき解釈を施すことにより真偽を確定することができる。一般に量化記号には、「全ての」を意味する全称記号「∀」と、「存在する」を意味する存在記号「∃」の2種類がある。このうち全称記号「∀」によって束縛した場合には「∀xP(x)」という閉論理式が得られ、これは「全ての（任意の） x について、x は P である」（より簡単には「全ての x は Pである」）という意味になる。このように自由変数を束縛して得られる閉論理式はもとの論理式の全称閉包（universal closure）と呼ばれる。

「∀xP(x)」は存在記号と否定記号とを用いて、「￢∃x￢P(x)」と表現することもできる。「￢∃x￢P(x)」は「P でないような x は存在しない」という意味だから、これはすなわち「全ての x は Pである」ということである。また、議論領域 (domain of discourse) が有限の場合、「∀xP(x)」は全称記号を使わずに連言のみで表現できる。例えば議論領域が {a, b, c} のとき、「∀xP(x)」と「P(a) ∧ P(b) ∧ P(c)」は同じ意味となる（詳しくは述語論理、量化の各記事を参照）。また ∀x ∈ A P(x) により ∀x[x ∈ A ⇒ P(x)] あるいは ∀x > 0 P(x) により ∀x[x > 0 ⇒ P(x)] を意味するような略記が用いられる^[2][3]。

記号法の歴史

フレーゲ

全称量化を表現する記号法が初めて導入されたのは、量化理論の祖とされるゴットロープ・フレーゲの『概念記法』（1879年）^[4]においてである。しかしフレーゲの論理式表記法は、現在広く用いられている線形的な表記法とは大きく異なる2次元的な表記法であり、全称量化の表現も独特のものを採用していた。現在の表記法で「∀xP(x)」と表現される式は、フレーゲの表記法では、

フレーゲによる全称量化の表記法

と書かれた。P(x)の左側にあるくぼみ部分が全称記号に当たる^[5]。このフレーゲの表記法はそのあまりの特殊性から、その後普及することはなかった。

ラッセル＝ホワイトヘッド

こののち、イタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノによって線形的な論理式表記法が整備され、これを受け継いだラッセルとホワイトヘッドの『プリンキピア・マテマティカ』（1910-1913年）^[6]においては、全称記号は「( )」によって表現された。すなわち「∀xP(x)」は、「(x)P(x)」と表記された。この「( )」という記号法の形は、「全ての」を意味するラテン語「omnis」の頭文字「O」に由来するという。『プリンキピア・マテマティカ』ではこのほかに「(x)[P(x) ⊃ Q(x)]」の略記法として、（これもペアノに由来する）「P(x) ⊃_x Q(x)」という表記法が用いられている^[7]。このラッセル流の記号法はチャーチやクワインの教科書にも採用されたため、その後も一定の影響力をもった。

ゲンツェン

現在最も広く用いられている「∀」という記号は、ドイツの論理学者ゲルハルト・ゲンツェンによって導入されたといわれている。ゲンツェンが1935年に発表した論文「論理的推論についての研究 1」では、「All-Zeichen」（直訳すると「全て記号」）として「∀」が使用されており、これはラッセルが用いていた存在記号「∃」に対応してデザインされたものだという。この記号の形は、「all」（ドイツ語で「全ての」を意味する）の頭文字「A」を反転させたものに由来している。

ゲンツェンはラッセル流の「( )」をあえて採用しなかったが、これは、数学において「( )」は既に別の意味で用いられており、既存の用法との混同を避けたかったためだと同論文では説明されている^[8]。第二次世界大戦後の数理論理学界を代表する2冊の教科書、クリーネの『メタ数学入門』（1952年）^[9]及びシェーンフィールドの『数理論理学』（1967年）^[10]では、このゲンツェン流の記号法が用いられている。

その他の記号法

このほかにも様々な記号法が存在し、例えばシュレーダーやウカシェヴィチは全称記号として「Π」（存在記号は「Σ」）を、タルスキは「∩」（存在記号は「∪」）を使用している^[11]。既に述べたように、全称量化は連言（論理積）の操作と深く関係しており、「Π」や「∩」といった積の記号が全称記号として用いられるのはこの点に由来している。

こうした「∀」以外の記号法は近年ではあまり見られなくなったが、現在でも対象量化と代入量化とを区別したい場合には、代入量化の全称記号として特に「Π」を用いることがある。

量化の記号法一覧

量化の記号法一覧

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
∀	U+2200	1-2-47	∀ ∀ ∀	普通限定子

関連項目

• 全称命題
• 全称例化
• 全称汎化
• 数学記号の表
  • 存在記号

脚注

1. ^ 「普通限定子」はJISの規格書にしか登場しない。規格書作成の際、手書き原稿の「普遍」を「普通」と誤植したものが規格書によって固定化し普及したものと見られる。
2. ^ 新井敏康『数学基礎論』岩波書店、2011年、1頁。ISBN 978-4-00-005536-9。 
3. ^ 田中一之、鹿島亮、角田法也、菊池誠『数学基礎論講義：不完全性定理とその発展』日本評論社、1997年、68頁。ISBN 978-4-535-78241-9。 
4. ^ Gottlob Frege. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879.
5. ^ フレーゲの論理式表記法については、次を参照せよ。Edward N. Zalta, "Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic", Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2005.
6. ^ Alfred North Whitehead & Bertrand Russell, Principia Mathematica, Cambridge University Press, 1910-13, second ed., 1925-27.
7. ^ 『プリンキピア・マテマティカ』における記号法については、次を参照せよ。Bernard Linsky, "The Notation in Principia Mathematica", Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2005.
8. ^ Gerhard Gentzen, "Untersuchungen über das logische Schließen I", Mathematische Zeitschrift, Bd.39, 1935, S. 178. doi:10.1007/BF01201353, EuDML:168546.
9. ^ S. C. Kleene, Introduction to Metamathematics, North-Holland, 1952 (ISBN 0720421039).
10. ^ Joseph R. Shoenfield, Mathematical Logic, Addison-Wesley, 1967 (ISBN 1568811357).
11. ^ 全称量化を表す様々な記号法については、次を参照せよ。Robert Feys & Frederic B. Fitch, Dictionary of Symbols of Mathematical Logic, North-Holland, 1969, pp. 54ff.

表 話 編 歴 論理学
関連項目 学術的領域 議論学 価値論 批判的思考 再帰理論 形式意味論 論理史 非形式論理学 計算機科学における論理学（英語版） 数理論理学 数学 メタ論理学 メタ数学 モデル理論 哲学的論理学 哲学 論理学の哲学 数学の哲学 証明論 集合論 論理学の歴史 基本概念 アブダクション 分析的と総合的の区別（英語版） 二律背反 アプリオリ 演繹 定義(内包と外延) 記述 帰納 推論 論理的帰結 論理形式（英語版） 論理的含意（英語版） 論理的真理 名前 必要十分条件 意味 パラドックス 可能世界論 前提 確率 理性 推理 参考 意味論 命題 サブスティトゥーション（英語版） 統語論（英語版） 真理 真理値 妥当性 数学記号の表
哲学的論理学 批判的思考と非形式論理学 分析 曖昧 信念 信用性（英語版） 根拠 説明 説明力（英語版） 事実 誤謬 探究 意見 節約 根拠 プロパガンダ 思慮分別（英語版） 推理 関連 修辞学 厳格 漠然（英語版） 論理学の哲学 構成主義 真矛盾主義 虚構主義（英語版） 有限主義（英語版） 形式主義 直観主義 論理的原子論（英語版） 論理主義 唯名論 プラトニック実在論（英語版） プラグマティズム 実在論
メタ論理学と超数学 カントールの定理 決定問題 チャーチのテーゼ 無矛盾性 実効的方法（英語版） 数学基礎論 ゲーデルの完全性定理 ゲーデルの不完全性定理 健全性 完全性 決定可能性 解釈 レーヴェンハイム-スコーレムの定理 メタ定理（英語版） 充足可能性 独立性（英語版） 独立 タイプとトークンの区別 使用と言及の区別
数理論理学 基幹 形式言語 構成規則 形式体系 演繹システム（英語版） 形式的証明 形式意味論 論理式 集合 元 クラス 古典論理 公理 自然演繹 推論規則 有限関係（英語版） 定理 論理的帰結 公理系 型理論 記号 統語論（英語版） 理論（英語版） 名辞論理学（英語版） 命題 推論 論証 妥当性 三段論法 反対の正方形 ベン図 命題論理とブール論理 ブール関数 命題論理 論理演算 真理値表 原子論理式 リテラル 述語論理 量化 全称記号 存在記号 一階述語論理 二階述語論理 高階述語論理 単項述語計算（英語版） 標準形 連言標準形 選言標準形 否定標準形 冠頭標準形 スコーレム標準形 節標準形 集合論 集合 空集合 数え上げ 外延 有限集合 関数 部分集合 冪集合 可算集合 帰納的集合 定義域 値域 順序対 非可算集合 モデル理論 モデル（英語版） 解釈（英語版） 超準モデル 有限モデル理論 真理値 妥当性 証明論 形式的証明 演繹システム（英語版） 形式体系 定理 論理的帰結 推論規則 統語論（英語版） 再帰理論 再帰 帰納的集合 帰納的可算集合 決定問題 チャーチ＝チューリングのテーゼ 計算可能関数 原始再帰関数 表現 真理値表 クワイン・マクラスキー法 カルノー図 存在グラフ 概念地図 オイラー図 ベン図 スパイダー図 タブローの方法 Xバー理論 構文木 構文解析
非古典論理 様相論理学 真理様相（英語版） 価値様相（英語版） 義務論理 信念様相（英語版） 認識論理 時相論理 線形時相論理 直観主義 直観論理 構成的解析（英語版） ハイディング算術（英語版） 直観主義型理論 構成的集合論（英語版） ファジィ論理 真理の程度（英語版） ファジィルール（英語版） ファジィ集合 ファジィ有限要素（英語版） ファジィ集合演算（英語版） 部分構造論理 構造規則（英語版） 適切さの論理 線形論理 矛盾許容論理 真矛盾主義 様相記述論理（英語版） 存在論 オントロジー言語（英語版）
論理学者 アンダーソン アリストテレス イブン・ルシュド イブン・スィーナー ベイン（英語版） バーワイズ（英語版） ベルナイス ブール ブーロス（英語版） カントール カルナップ チャーチ クリュシッポス カリー ド・モルガン フレーゲ ギーチ ゲンツェン ゲーデル ヒルベルト クリーネ クリプキ ライプニッツ レーヴェンハイム（英語版） ペアノ パース パトナム クワイン ラッセル シュレーダー（英語版） スコトゥス スコーレム スマリヤン タルスキ チューリング ホワイトヘッド オッカムのウィリアム ウィトゲンシュタイン ツェルメロ
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表 話 編 歴 論理記号
∧ or & 論理積 AND ∨ 論理和 OR ¬ or ~ 否定 NOT → 含意 implies ⊃ 上位集合 superset ≡ 同値 iff | 否定論理積 NAND ∀ 全称量化 for all ∃ 存在量化 exists ⊤ 恒真式 tautology ⊥ 偽 false / 矛盾 ⊢ 証明可能 proves ⊨ 論理的帰結 entails ∴ 従って therefore ∵ なぜならば because

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「(・∀・ )」の例文・使い方・用例・文例

• 彼女は今朝早く緊急虫垂切除(術)を受けた。
• 空中給油機は給油中に吹き流しの空中曳航(えいこう)標的をつるす。
• オルガスム(ス)の声をあげる
• その商社はターボプロップ(航空)機市場が拡大すると見込んでいる。
• アルコールの突然の摂取は無血管(性)壊死と呼ばれる状態をもたらす可能性がある。
• ヨム・キプル(ユダヤ教の贖罪の日)はショファーの音とともに終わってしまった。
• 4Pの要素は、売り手側の視点に基づいた製品(Product)、価格(Price)、販売促進(Promotion)、販売ルート(Place)である。
• タックマンモデルとは、チームビルディングにおける5段階、すなわち形成(Forming)、混乱(Storming)、統一(Norming)、機能(Performing)、散会(Adjourning)を示すモデルである。
• ヘッドアンドショルダーズは投資家にとって最も信頼度の高いフォーメーション(株価動向)のひとつだ。
• 典型的なマネジメントサイクルとしてPDCA (計画・実行・検証・改善)が有名です。
• マネジメントバイアウト(MBO)は一種のM&Aだ。
• マネー・マーケット・アカウント(MMA/金融市場預金口座)
• リフレレーション政策(リフレ政策:景気刺激策)
• エコノミック・ リベラリズム(経済自由主義)
• 銘柄コードやアイジンコードなどの証券コードは証券コード協議会(SICC)により付番されている。
• (表示を)よく確認していなかったため、目的地とは反対側の改札口から出てしまった。
• （私の)写真を売りたい。
• （私が)電源を切ります。
• （私は)人間より動物が好きです。
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