除法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/15 09:30 UTC 版)
除法は ÷（日本で一般的） や /（世界的に優勢）、：（ドイツ・フランス）、及び⟌（筆算の場合）などといった記号を使って表される（#記号についても参照）。除算する2つの数のうち一方の項を被除数 (ひじょすう、英: dividend) と呼び、他方を除数 (英: divisor) と呼ぶ。有理数の除法について、その演算結果は被除数と除数の比を与え、分数を用いて表せられる。このとき被除数は分子 (英: numerator)、除数は分母 (英: denominator) に対応する。被除数と除数は、被除数の右側に除数を置いて以下のように表される。
- 被除数 ÷ 除数
除算は商 (英: quotient) と剰余 (英: remainder) の2つの数を与え、商と除数の積に剰余を足したものは元の被除数に等しい。
- 商 × 除数 + 剰余 = 被除数
剰余は余りとも呼ばれ、除算によって「割り切れない」部分を表す。剰余が0である場合、「被除数は除数を割り切れる」と表現され、このとき商と除数の積は被除数に等しい。剰余を具体的に決定する方法にはいくつかあるが、自然数の除法については、剰余は除数より小さくなるように取られる。たとえば、13 を 4 で割った余りは 1、商は3となる。これらの商および剰余を求める最も原始的な方法は、引けるだけ引き算を行うことである。つまり13を4で割る例では、13から4を1回ずつ引いていき（13 − 4 = 9, 9 − 4 = 5, 5 − 4 = 1 < 4）、引かれる数が4より小さくなるまで引き算を行ったら、その結果を剰余、引き算した回数を商とする。これは自然数の乗法を足し算によって行うことと逆の関係にある。
剰余を与える演算に % などの記号を用いる場合がある。
- 剰余 = 被除数 % 除数
除数が0である場合、除数と商の積は必ず0になるため商を一意に定めることができない。従って0を除数とする除法の商は未定義となる（ゼロ除算を参照）。
有理数やそれを拡張した実数、複素数における除法では、整数や自然数の除法と違って剰余は使われず、
- 商 × 除数 = 被除数
という関係が除数が0の場合を除き常に成り立つ。この関係は次のようにも表される。
- 被除数 ÷ 除数 = 商
実数などにおける定義から離れると、除法は乗法を持つ代数的構造について「乗法の逆元を掛けること」として一般化できる。一般の乗法は交換法則が必ずしも成り立たないため、除法も左右2通り考えられる。
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