逆格子ベクトル 逆格子ベクトルの概要

逆格子ベクトル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2013/11/01 07:06 UTC 版)

定義

構造を調べたい結晶の実空間における基本並進ベクトル(基本単位ベクトル)を {a1, a2, a3} とする。このとき、この結晶の逆格子空間での基本並進ベクトル(基本単位ベクトル、基本逆格子ベクトル、単に基本ベクトルとも言う){b1, b2, b3} は、以下のように定義される。

\begin{align}
& \mathbf{b}_1 = 2 \pi { \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3 \over { \mathbf{a}_1 \cdot ( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3 ) } } \\
& \mathbf{b}_2 = 2 \pi { \mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1 \over { \mathbf{a}_1 \cdot ( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3 ) } } \\
& \mathbf{b}_3 = 2 \pi { \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 \over { \mathbf{a}_1 \cdot ( \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3 ) } } \end{align}

ここで、・は内積、×は外積である。以上において、a, b には、直交関係:

 \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j = 2 \pi \delta_{ij}

がある。{b1, b2, b3} と任意の整数の組 m = (m1, m2, m3) によって構成されるベクトル

 \mathbf{G}_\mathbf{m} = m_1 \mathbf{b}_1 + m_2 \mathbf{b}_2 + m_3 \mathbf{b}_3

逆格子ベクトルという。逆格子ベクトルGm で表現されるベクトルの終点((m1, m2, m3) で表される)の集まりが逆格子、そしてそのそれぞれの終点が逆格子点である。

性質

任意の実格子ベクトルRn と逆格子ベクトルGm には、

 \mathbf{G}_m \cdot \mathbf{R}_n = 2 \pi N_{mn}

という関係がある。ただしNmn は適当な整数である。

尚、基本並進ベクトルがつくる平行六面体(=単位胞)の体積は、

\begin{align}& \Omega = \mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3) \\
& \Omega_\mathrm{G} = \mathbf{b}_1 \cdot (\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3) = {(2 \pi)^3 \over {\Omega} } \end{align}

となる。ここでΩ:実空間での単位胞の体積。ΩG:逆格子空間での単位胞の体積である。

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