群 (数学) 有限群

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群 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/31 02:29 UTC 版)

有限群

有限アーベル群の基本定理

G を有限可換群とすると、2以上の整数

$e_{1}|e_{2}|\cdots |e_{n}$

が存在して、G は

$G\cong \mathbb {Z} /e_{1}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /e_{n}\mathbb {Z}$

と巡回群の直積に分解する。このような e_i たちは一意的に定まる。

また、素数 p₁, ..., p_r（重複してもよい）と、正の整数 a₁, ..., a_r が存在して、

$G\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{r}^{a_{r}}\mathbb {Z}$

と素数べき位数の巡回群の直積に分解する。このとき、${p_{1}^{a_{1}},p_{2}^{a_{2}},\cdots ,p_{r}^{a_{r}}}$ は順序の差を除き一意的に定まる。

コーシーの定理

有限群 G の位数 |G| の素因数を p とするとき、位数 p をもつ G の元が存在する。

シローの定理

素数 p が与えられているとき、有限群 G の位数を |G| = p^am （ただし m は p と互いに素）と表す。このとき位数 p^a の G の部分群を p-シロー部分群という。p-シロー部分群について以下が成り立つ。

1. G のどの p-部分群も、ある位数 p^a の部分群に含まれる。特に p-シロー部分群は存在する
2. 相異なる p-シロー部分群の個数 n_p は p を法として 1 と合同である： n_p ≡ 1 mod p
3. 任意の p-シロー部分群は G 内で互いに共役である

シューア・ツァッセンハウスの定理

N を有限群 G の正規部分群とし、|N| と |G:N| が互いに素であるとき、G の部分群 C が存在して、G は N と C の半直積となる。

バーンサイドの p^aq^b 定理

p, q を素数とするとき、位数 p^aq^b の有限群は可解である。

有限べき零群の構造定理

有限べき零群はそのシロー部分群の直積に同型である。