絶対値

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/21 19:56 UTC 版)

数学における実数 $x$ の絶対値（ぜったいち、英: absolute value）または母数（ぼすう、英: modulus） $| x |$ は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 $x$ に対して $| x | = x$ および負数 $x$ に対して $| x | = - x$ （このとき $- x$ は正）であり、また $|0| = 0$ である。例えば $3$ の絶対値は $3$ であり $-3$ の絶対値も $3$ である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。

脚注

注釈

^ オックスフォード英語辞典第2版の最も古い引用は1907年から。もちろん relative value（相対値）と対照を成す語としても absolute value（絶対値）は使われる
^ 例えば実数直線を $xy$ -平面の $x$ -軸と看做せば、任意の実数 $x$ は点 $(x, 0)$ で表され、 $0$ は原点 $(0, 0)$ に対応する。平面上の任意の点 $(x, y)$ と原点とのユークリッド距離は $\sqrt (x - 0) 2 + (y - 0) 2 = \sqrt x 2 + y 2$ で与えられるから、 $x$ と $0$ との距離はちょうど $\sqrt x 2 に等しい。$
^ ただし、この微分可能性は複素微分可能を意味しない。つまり、複素変数の絶対値函数はコーシー–リーマンの方程式を満たさない^[10]。
^ この公理系は極小ではない。実際、非負性は他の三つから出る: $0 = d (a, a) \leq d (a, b) + d (b, a) = 2 d (a, b)$ .