確率密度関数 詳細

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確率密度関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/20 04:45 UTC 版)

詳細

確率質量関数とは異なり、確率密度関数は1より大きな値を取りうる。例えば、区間 [0, 1/2] の連続一様分布の確率密度関数は範囲 0 ≤ x ≤ 1/2 で f(x) = 2、その他の範囲で f(x) = 0 である。

正規分布は下記の確率密度関数を持つ。

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\;e^{-x^{2}/2}$

確率変数 X とその確率密度関数 f が与えられた時、X の期待値は（値が存在する場合は）次の式で求められる。

$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx$

全ての確率分布が確率密度関数を持つとは限らない。離散型確率変数が持たない他にも、カントール分布は連続確率分布であるにもかかわらず、範囲内のあらゆる点で正の確率を持たないため、確率密度関数を持たない。

確率分布はその累積分布関数 F(x) が絶対連続である場合にのみ確率密度関数 f を持つ。この場合 F はほとんど至るところで微分可能で、f は F のラドン=ニコディムの定理である：

${\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)$

累積分布関数が連続の場合、確率変数がある値 a をとる確率 P(X = a) は常に0である。

2つの確率密度関数 f, g がほとんど至るところで等しい時、2つは正確に同じ確率分布から採られたと言える。

統計力学の分野では、累積分布関数のラドン=ニコディム微分と確率密度関数との関係を非形式的に書いた以下の式が確率密度関数の定義として用いられる。

dt が無限小の時、X が区間（t, t + dt）に含まれる確率は f(t)dt に等しい。

$\operatorname {P} (t<X<t+dt)=f(t)\,dt.$