極限 数列の極限

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極限

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 09:32 UTC 版)

数列の極限

実数の数列が収束する (converge) あるいは有限の極限を持つ若しくは極限が有限確定であるとは、番号が進むにつれてその数列の項がある1つの値に限りなく近づいていくことをいう。このとき確定する値をその数列の極限値という。収束しない数列は発散する(diverge)といい、それらはさらに極限を持つものと持たないものに分かれる。発散する数列のうち極限を持つものには、正の無限大に発散するものと負の無限大に発散するものがあり、極限が確定しないものは振動する(oscillate)という。

数列の収束

自然数の逆数の列 1, 1/2, 1/3, …, 1/n, … を考えると、n を限りなく大きくしていくと一般項 1/n は限りなく 0 に近づいていく。このときこの数列は 0 に収束するといい、このことを

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

あるいは

${\frac {1}{n}}\to 0\quad (n\to \infty )$

と書く。

カール・ワイエルシュトラスは「限りなく近づく」という曖昧な表現は使わず、イプシロン-デルタ論法を用いて厳密に収束を定義した。これによれば、数列 {a_n} がある一定の値 α に収束するとは、次が成り立つことである（この場合はイプシロン-エヌ論法とも言う）:

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} {\text{ s.t. }}\forall n\in \mathbb {N} \left[n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\varepsilon \right]$

（どんなに小さな正の数 ε をとっても、その ε に対して適切な番号 n₀ を十分大きく定めれば、n₀ より先の番号 n に対する a_n は α から ε ほども離れない範囲に全部入るようにすることができる）

これを用いると、a_n = 1/n の極限値は 0 であることを以下のようにして示すことができる。

（証明）

自然数は上に有界でない（アルキメデスの性質）から、

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0};\forall n\left[n>n_{0}\Longrightarrow n>{\frac {1}{\varepsilon }}\right].$

従って

$\left|{\frac {1}{n}}-0\right|={\frac {1}{n}}<\varepsilon \ (n>n_{0})\Longleftrightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0.\;\;{\mbox{□}}$

極限値の性質

• 数列が収束するとき、その極限値はただ一つに限る。

  $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha =\beta$

• 収束する数列から項を有限個取り除いても、得られた数列は同じ値に収束する。
• 収束する数列は数の集合として有界である。

  $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha \Longrightarrow \exists K>0;\forall n\;|a_{n}|<K$

• $\forall n\;a_{n}\leq b_{n},\;\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\;\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha \leq \beta$

数列の発散

数列が収束しないとき、その数列は発散するという。特に、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 a_n が限りなく大きくなることを、数列 {a_n} は正の無限大に発散するといい、

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$

または

$a_{n}\to \infty \;(n\to \infty )$

のように表す。イプシロン-エヌ論法では、数列の正の無限大への発散は、

$\forall K>0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}>K{\bigg ]}$

のように定式化される。

また、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 a_n が限りなく小さくなることを、数列 {a_n} は負の無限大に発散するといい、

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$

または、

$a_{n}\to -\infty \;(n\to \infty )$

と表す。数列 {a_n} が負の無限大へ発散することは、各項 a_n を反数にした数列 {b_n} (b_n = −a_n, n = 1, 2, 3, …) が正の無限大に発散することと同値である。あるいは絶対値をとって得られる数列 が正の無限大に発散すると言っても同じである。イプシロン-エヌ論法では、

$\forall K<0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}<K{\bigg ]}$

となる。

数列が収束せず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その数列は振動するという。振動も発散の一種である。

様々な極限

実数の列 $\left(x_{n}\right)_{n}$ がある数 $R$ について $R<x_{n}$ を満たしているとき（数列 $\left(x_{n}\right)_{n}$ が下に有界なとき）、 $\left(x_{n}\right)_{n}$ の下極限と呼ばれる数

$\varliminf _{n\to \infty }x_{n}$

を定めることができる。同様にして、上に有界な数列に対しその上極限

$\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}$

が定義される。

（$\varlimsup$ を $\limsup$、$\varliminf$ を $\liminf$ と記しても同じ意味である）

数列 $\left(x_{n}\right)_{n}$ が極限を持つのは $\textstyle \varliminf \limits _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup \limits _{n\to \infty }x_{n}$ となる場合であり、このとき

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\varliminf _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}$

となる。さらに、有界な数列のなすベクトル空間 $l_{\infty }\mathbf {N}$ に対して抽象的な関数解析の構成を適用し、任意の有界な数列 $\left(x_{n}\right)_{n}$に対してバナッハ極限と呼ばれる数 ${\mathrm {LIM} }\;x_{n}$ を、古典的な極限の拡張となるように定めることができる。

点列

ユークリッド空間のように、距離 d の定まった空間における点の列についての収束の概念を、実数の列の収束の概念を拡張して定めることができる。すなわち、点列 (x_n)_n が点 y に収束するとは、正の実数列 (d(x_n, y))_n が 0 に収束することである。この概念をさらに一般化して、自然数によって数え上げられるとは限らない「列」とその収束性を一般の位相空間に対して定式化することができる。（#位相空間を参照のこと）

距離 d に関する極限であることを明示するために lim の代わりに d-lim などと書くこともある。