尖度尖度の概要

2種類の定義

尖度には、４次の標準化モーメントとも呼ばれるμ₄/σ⁴から３を引いて正規分布の尖度を 0 とする定義と、４次の標準化モーメントをそのまま用いて正規分布の尖度を 3 とする定義があることに注意。これら2種類の定義の違いは、尖度が正規分布との乖離をみるために使われることに起因している。一般には正規分布の尖度を 0 とすることが多い。Excelの分析ツール等は正規分布の尖度を 0 としている^{[注釈 1]}。東京大学出版会の「統計学入門」(ISBN 4130420658)やNumerical Recipesなども正規分布の尖度が 0 となるように、尖度を定めている。

モーメントによる定義

確率変数 $X$ の分布関数を $F(X)$

\mu =E[X]=\int XdF(x)

\mu _{r}=E[(X-\mu )^{r}]=\int (X-\mu )^{r}dF(x)

（

r

は正整数）

とする。このとき、分布関数 $F(X)$ の尖度 $\beta _{2}$ は次式である（各積分値が存在すると仮定している）。

正規分布の尖度を 0 とする定義では、
$\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{{\mu _{2}}^{2}}}-3$
正規分布の尖度を 3 とする定義では、
$\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{{\mu _{2}}^{2}}}$

キュムラントによる定義

確率変数 $X$ の $r$ 次のキュムラント^{[注釈 2]}を $\kappa _{r}$ とすると、尖度 $\beta _{2}$ は次式で定義される。

正規分布の尖度を 0 とする定義では、
$\beta _{2}={\frac {\kappa _{4}}{{\kappa _{2}}^{2}}}$
正規分布の尖度を 3 とする定義では、
$\beta _{2}={\frac {\kappa _{4}}{{\kappa _{2}}^{2}}}+3$

計算例

正規分布の尖度。モーメント母関数 M_X(t) のキュムラント母関数は

\log(M_{X}(t))=\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2

から $\kappa _{1}=\mu$ ， $\kappa _{2}=\sigma$ ， $\kappa _{r}=0\ (r\geq 3)$ となり、3 次以上のキュムラントはすべて 0 であることがわかる。したがって、正規分布の尖度は $\beta _{2}=0$ （または 3）となる。

注釈

^ 歪度 $\beta _{1}=E{(X-\mu )^{3}}/[E{(X-\mu )^{2}}]^{(3/2)}$ 、分散 $\sigma =E{(X-\mu )^{2}}$ は不等式による制限があるので、注意する必要がある。当然ながら、標本における歪度と尖度は互いに独立ではない。コーシー・シュワルツの不等式を考えれば、尖度 $\beta _{2}$ は 1 より大きく、3 を引いた尖度は −2 以上の値をとることは明らかであろう。
^ 簡単に言えば、モーメント母関数 $M_{X}(t)$ の対数をとった関数を $t=0$ の周りで形式的に展開し、 $t$ について整理したときの、 $r$ 次の係数が $\kappa _{r}$ である。
^ 厳密な意味での標本における尖度についての不偏推定量の研究は、省略する。
^ 具体的には $E\{k_{r}\}=\kappa _{r}$ となる性質がある。