偏微分 高階偏導関数

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偏微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/06 02:31 UTC 版)

高階偏導関数

偏導関数がさらに偏微分可能ならば、偏微分を繰り返して高階（高次）の偏導関数

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=f_{yx}$

などを考えることができる。一般に多重指数 α = (a₁, a₂, ..., a_n) に対して |α| = a₁ + a₂ + ... + a_n として

$\partial _{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{a_{1}}\,\partial x_{2}^{a_{2}}\cdots \partial x_{n}^{a_{n}}}}=f^{(\alpha )}$

を定義することができる。

たとえば 2 変数の関数 f(x, y) が偏微分可能で、さらに二つの偏導関数 f_x , f_y が偏微分可能なとき、f の二階の偏導関数は

f_xx , f_xy , f_yx , f_yy

の 4 つが定義できる。ここで、二つの偏導関数 f_xy , f_yx は一般には異なる関数であるが、これらの偏導関数が連続、つまり元の関数が C² 級であるならば、両者は一致する（ヤングの定理）。 また、一致しないものとしては、たとえば全平面で定義される関数

$f(x,y)={\begin{cases}{\cfrac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0),\\[10pt]0&(x,y)=(0,0).\end{cases}}$

が挙げられる。実際このときは f_xy(0, 0) ≠ f_yx(0, 0) となる。