位相空間 位相空間の導出

ウィキペディア

位相空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/10 08:48 UTC 版)

位相空間の導出

すでにある位相空間を加工して、別の位相空間を作る方法を述べる。

位相空間を加工する上で基本となるのは、「逆像位相」と「像位相」の概念、おそびそれらの拡張概念である「始位相」と「終位相」である。

逆像位相と像位相、始位相と終位相は互いに双対の関係にあり、写像の向きを逆にすることでもう片方の概念を定式化できる。なお始位相と終位相はそれぞれ圏論における始リフト、終リフトの例のになっている。

始位相、逆像位相、部分位相、直積位相

まず始位相の概念を以下のように定義する：

定義 (始位相) ―  Xを集合とし、$\{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$を位相空間の族とし、写像

$f_{\lambda }~:~X\to Y_{\lambda }$

の族$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$を考える。

このとき、全ての$f_{\lambda }$を連続にする最弱の位相をXの$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$始位相という。

始位相の特殊な場合として、以下のものが重要である。以下でXは集合である。

名称	定義
逆像位相	位相空間$(Y,{\mathcal {O}})$と写像$f~:~X\to Y$がXに定める始位相の事
部分位相	位相空間$(Y,{\mathcal {O}})$の部分集合Xに対し、包含写像$\iota ~:~X\hookrightarrow Y,\ x\mapsto x$による逆像位相の事。X に部分位相を入れたものを$(Y,{\mathcal {O}})$の部分空間という。
直積位相（チコノフ位相とも）	$\{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$を位相空間の族とするとき、射影$\pi _{\lambda }~:~Y=\prod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }\to X_{\lambda }$の族$\{\pi _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$によってYに定義される始位相の事。直積Yに直積位相を入れた位相空間を直積空間という。

これらはより具体的に書き表す事が可能である：

定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、

• 逆像位相の開集合系は$f^{*}({\mathcal {O}}):=\{f^{-1}(O)\mid O\in {\mathcal {O}}\}$に一致する。
• 部分位相の開集合系は、$\{O\cap X\mid O\in {\mathcal {O}}\}$に一致する。
• 直積位相は${\Bigg \{}\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\ {\Bigg |}\ O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }$, 有限個のλを除いて$O_{\lambda }=X_{\lambda }{\Bigg \}}$を開基とする。

上述の定理の直積位相の箇所に関して、Λが有限集合のときは、「有限個のλを除いて…」という条件がいらなくなるので簡単であるが、Λが無限集合のときは注意が必要である。例えば$\mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots$を$\mathbb {R}$の(可算)無限個のコピーとし、$U_{1},U_{2},\ldots$を$U=(0,1)$の無限個のコピーとするとき、直積

$\prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$

は直積位相に関して

$\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} _{i}$

の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて…」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。これに対し直積空間には$\prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$をも開集合とする位相も定義可能である：

定義 ― 位相空間の族$(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$に対し、

$\{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\}$

を開基とする$\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$の位相を箱型積位相という。

箱型積位相は直積位相より強い（弱くない）位相である。

終位相、像位相、商位相、直和位相

まず始位相と双対的に終位相を定義する：

定義 (終位相) ―  Xを集合とし、$\{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$を位相空間の族とし、写像

$f_{\lambda }~:~Y_{\lambda }\to X$

の族$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$を考える。

このとき、全ての$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$を連続にする最強の位相をXの$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$終位相という。

終位相の特殊な場合として下記のものを定義できる。これらは逆像位相、部分位相、始位相、直積位相と双対的に定義したものである。以下でXは集合である：

名称	定義
像位相	位相空間$(Y,{\mathcal {O}})$と写像$f~:~Y\to X$がXに定める終位相の事。
商位相	$(Y,{\mathcal {O}})$ を位相空間とし、「$\sim$」をY上の同値関係とし、[x]でこの同値関係におけるx ∈ Yの同値類を表すとき、商写像$\pi \colon Y\to Y/{\sim },\;x\mapsto [x]$が商集合 $X=Y/{\sim }$ に定義する像位相の事。
直和位相	$\{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$ を位相空間の族とするとき、$X_{\lambda }$ から集合族 $\{X_{\tau }\}_{\tau \in \Lambda }$ の直和への包含写像$\iota _{\lambda }\colon X_{\lambda }\hookrightarrow \coprod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }$の族 $\{\iota _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ によって直和 $\coprod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$ に定義される終位相の事。

これらはより具体的に書き表す事が可能である：

定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、

• 像位相の開集合系は$f_{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}$に一致する。
• 商位相の開集合系は、$\pi _{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid \pi ^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}$に一致する。
• 直和位相の開集合系は、${\Bigg \{}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }{\Bigg |}\forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }{\Bigg \}}$に一致する。