三角形 三角形の概要

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三角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/03 05:31 UTC 版)

この項目では、図形について説明しています。文字については「三角 (記号)」をご覧ください。

三角形
三角形
辺・頂点	3
シュレーフリ記号	{3} (等辺の場合)
面積	さまざまな方法： #面積を参照
内角 (度)	60°（等辺の場合）

記法・定義

3点 A, B, C を頂点とする三角形は記号 △ を用いて △ABC と表記する。記号△はピエール・エリゴン（フランス語版）などが16世紀に使うようになった^[1]。

三角形の 2辺がなす角をその三角形の内角という。

図1：内角と外角

図1においては、∠ABC が内角の 1つとなる。三角形は 3つの内角をもち、その和は平面上では2直角（180度）となる（本稿はユークリッド幾何学における三角形を論じる）。

また、∠ACD のように、1つの辺と、他の辺の延長が作る角を三角形の外角という。三角形の 1つの頂点（内角）に対して、内角をはさむ2辺以外の辺をその頂点（内角）の対辺という。また、三角形の 1つの辺に対して、辺の両端以外の頂点（内角）をその辺の対頂点（対角）という。

一般に、三角形の頂点やその頂点の内角を表すには、大文字のアルファベットを用いる。特に、内角（内角の大きさ）を表すときには、頂点の前に記号 ∠ をつけるか、頂点の文字を斜体にして表すのが慣例である。たとえば、図2 の頂点 B を持つ内角（内角の大きさ）を ∠B、または B と表す。

辺（辺の長さ）を表すには、対頂点（向かい合う頂点）の文字に対応する小文字のアルファベットで表すことが行われる。たとえば、図2 の角 B の対辺 CA は、b と表す。この記法は、18世紀のオイラーの頃から使われるようになった^[2]。

三角形の3辺となる条件

三角形のどの辺の長さも他の二辺の長さの和より小さい。すなわち、三角形を構成する3辺の長さを a，b，c とするとき、次の三つの不等式が成り立つ。

• a < b + c
• b < c + a
• c < a + b

この関係は三角不等式として一般化される。 逆に、この不等式が三つとも成り立てば、a，b，c を3辺の長さとする三角形を作ることができる。

辺の大小と内角の大小

• a < b ⇔ A < B
• b < c ⇔ B < C
• c < a ⇔ C < A

特に、三角形の最長辺（最短辺）と最大内角（最小内角）は向かい合う関係にある。

三角形の底辺と高さ（中線と中点連結）

三角形の 3つの辺のうちの一つを底辺としたとき、その対頂点から底辺またはその延長に下ろした垂線が、三角形によって切り取られる線分（線分の長さ）を、三角形の高さという。底辺をどの辺と見るかによって、三角形には 3つの高さがある。

三角形の高さは、底辺と対頂点の距離に等しい。

底辺の中点と、対頂点を結ぶ線分を、三角形の中線という。底辺をどの辺と見るかによって、1つの三角形には 3本の中線がある。

三角形の中線は、三角形の面積を二等分する。

底辺を除く 2辺それぞれの中点を結ぶ線分を、三角形の中点連結という。底辺をどの辺と見るかによって、1つの三角形には 3つの中点連結がある。

三角形の中点連結は、底辺と平行で、長さは底辺の半分に等しい（中点連結定理）。

三角形の種類

図2：鋭角三角形（不等辺三角形）

三角形は、その辺や角の大きさにより、いくつかの方法で分類することができる。

• 大きさが 0度より大きく 90度より小さい角を鋭角という。
• 大きさが 90度である角を直角という。
• 大きさが直角 90度より大きく、平角 180度より小さい角を鈍角という。

三角形の内角の和は 180度なので、三角形の内角で 90度以上のものは高々1個である。三角形の内角は、すべて鋭角であるか、直角1個と鋭角2個であるか、鈍角1個と鋭角2個、のいずれかである。

図3：鈍角三角形

三角形を内角の大きさで分類するとき、内角が全て鋭角である三角形を鋭角三角形（図2）、1つの内角が直角である三角形を直角三角形（図4）、1つの内角が鈍角である三角形を鈍角三角形（図3）という。

また、三角形を辺の長さで分類するとき、3つの辺の長さがすべて異なる三角形を不等辺三角形（図2）という。

2つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形（図5）という。

二等辺三角形のうち、直角三角形の直角をはさむ 2つの辺が等しいものを直角二等辺三角形（図6）という。

二等辺三角形のうち、3つの辺の長さがすべて等しい三角形を正三角形（図7）という。

直角三角形

図4：直角三角形

1つの内角が直角である三角形を直角三角形と呼ぶ。直角三角形の頂点のうち、内角が直角である頂点を直角頂と呼ぶ（図4）。

直角三角形の直角以外の内角 2つは 90度未満となり、これらを直角三角形の鋭角と呼ぶ。それらの和は直角に等しい。

直角三角形の直角の対辺を斜辺という。斜辺は、直角三角形の 3つの辺の中で最も長い辺である。斜辺でない 2辺を、直角をはさむ 2辺と呼ぶ。

直角をはさむ 2辺 a，b と、斜辺 c の間には、次の関係が成り立つ（ピタゴラスの定理）。

a² + b² = c²

逆に、△ABC の 3辺 a，b，c が上の等式を満たすならば、△ABC は辺 c を斜辺とする直角三角形となる（ピタゴラスの定理の逆）。

二等辺三角形

図5：二等辺三角形

二等辺三角形において、長さの等しい 2つの辺を等辺といい、残りの 1つの辺を二等辺三角形の底辺と呼ぶ。2つの等辺のなす角を頂角といい、残りの 2つの内角を底角という。頂角の対辺が底辺であり、底辺の両端の角が底角である。また、二等辺三角形で頂点と言った場合、特に底辺の対頂点を指す。

△ABC が b = c の二等辺三角形であれば、底角 ∠B = ∠C であり（二等辺三角形の底角の性質）、逆に、△ABC の 2角が ∠B = ∠C であれば、b = c の二等辺三角形となる（二等辺三角形の成立条件）。

図6：直角二等辺三角形

二等辺三角形は線対称な図形であり、頂角の二等分線、底辺の垂直二等分線、頂点から底辺に引いた中線はすべて対称軸上に乗る。

二等辺三角形のうち、頂角が直角であるものを直角二等辺三角形という。直角二等辺三角形においては、直角をはさむ 2辺を等辺、底辺を斜辺と呼ぶこともできる。2つの鋭角ないし底角の大きさは、それぞれ 45度となる（図6）。

正三角形

図7：正三角形

二等辺三角形のうち、等辺と底辺の長さが等しいものを正三角形という。（図7）

正三角形の内角は全て等しく 60度となる。逆に、ある内角が 60度である二等辺三角形は正三角形である。

正三角形は正多角形の一種である。正多角形とは、全ての辺が等しく、全ての内角が等しい多角形と定義されるが、正三角形に限って3辺が等しいことのみで定義される。

正三角形には、対称軸が 3本ある。正三角形の重心、外心、内心、垂心、フェルマー点は、全て一致する。