一次関数 一般化

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一次関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/25 11:36 UTC 版)

一般化

多変数の一次多項式が定める関数

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ;\ (x_{1},\cdots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b$

も一次関数という。b = 0 のときは斉一次函数あるいは一次形式 (linear form) という。この関数のグラフ

$\{(x_{1},\cdots ,x_{n},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid y=f(x_{1},\cdots ,x_{n})\}$

は、(n + 1)-次元ユークリッド空間 Rⁿ⁺¹ において超平面（余次元 1 のアフィン部分空間）を描く。このような関数に対しても、上に述べたことは（平面における各概念の高次元における適当な対応物を考えることにより）ほとんどそのままの形で通用する。

より一般に、n 次元ベクトル空間 Vⁿ から m 次元ベクトル空間 V^m への一次関数を考えることもできる。x を n-次元ベクトル値の変数、b を m-次元の定ベクトル、A を m-行 n-列の行列とするとき、

$V^{n}\to V^{m};\ x\mapsto Ax+b$

をアフィン写像という。特に、b = 0 のときかつそのときに限り、和とスカラー倍を保つ線型写像となる。

実数全体の成す体 R を任意の可換環 K で置き換えて

$R^{n}\to R;\ (x_{1},\cdots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b\quad (a_{i},b\in R)$

を考えることもできるし、行列環 M_n やその部分環、あるいは一般線型群 GL_n やその部分群を、一般の環 R や群 G で置き換え、ベクトル空間 V をそれらの環や群が作用する加群 M で置き換えれば、

$M\to M;\ x\mapsto Ax+b\quad (A\in R,b\in M)$

のようなものを考えることもできる。このようなものはアフィン群あるいは俗に ax + b 群と呼ばれ、この群の上の調和解析は、ウェーブレット解析として知られる。