フーリエ変換 主なフーリエ変換の一覧

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フーリエ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/22 10:25 UTC 版)

主なフーリエ変換の一覧

以下にフーリエ変換の閉じた表示に関する表を掲げる（フーリエ変換はよく用いられる三種類を挙げてある）。函数 ƒ(x) , g(x), h(x) に対して、それらのフーリエ変換をそれぞれ ˆf, ˆg, ˆh で表す。

函数の関係式

以下の表におけるフーリエ変換は (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	備考
	$f(x)\,$	${\hat {f}}(\xi )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx$	${\hat {f}}(\omega )=$${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}dx$
101	$af(x)+bg(x)\,$	$a{\hat {f}}(\xi )+b{\hat {g}}(\xi )\,$	$a{\hat {f}}(\omega )+b{\hat {g}}(\omega )\,$	$a{\hat {f}}(\nu )+b{\hat {g}}(\nu )\,$	線型性
102	$f(x-a)\,$	$e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )\,$	$e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )\,$	$e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )\,$	時間領域シフト
103	$e^{2\pi iax}f(x)\,$	${\hat {f}}\left(\xi -a\right)\,$	${\hat {f}}(\omega -2\pi a)\,$	${\hat {f}}(\nu -2\pi a)\,$	周波数領域シフト 102の双対
104	$f(ax)\,$	${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)\,$	|a| が大きければ f(ax) は 0 の周りに集中し ${\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$ は平らに広がる
105	${\hat {f}}(x)\,$	$f(-\xi )\,$	$f(-\omega )\,$	$2\pi f(-\nu )\,$	ここで、${\hat {f}}$ は、それぞれの列で考えているフーリエ変換を施した結果の、変数を x に取替えたものである。
106	${\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\,$	$(2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )\,$	$(i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )\,$	$(i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )\,$
107	$x^{n}f(x)\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}$	106の双対
108	$(f*g)(x)\,$	${\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )\,$	${\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )\,$	${\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )\,$	f ∗ g は f と g との畳み込みである。この公式は畳み込み定理と呼ばれる。
109	$f(x)g(x)\,$	$({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )\,$	$({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,$	${\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )\,$	108の双対
110	純実偶関数$f(x)$	${\hat {f}}(\omega ),\,{\hat {f}}(\xi ),\,{\hat {f}}(\nu )\,$ はいずれも純実偶関数			正弦・余弦変換も参照
111	純実奇関数$f(x)$	${\hat {f}}(\omega ),\,{\hat {f}}(\xi ),\,{\hat {f}}(\nu )$ はいずれも純虚奇関数

自乗絶対可積分函数

以下の表におけるフーリエ変換は (Campbell & Foster 1948), (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	備考
	$f(x)$	${\hat {f}}(\xi )=$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx$
201	$\operatorname {rect} (ax)\,$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)$	矩形波と標準化されたsinc関数でsinc関数はsinc(x) = sin(πx)/(πx)で表される
202	$\operatorname {sinc} (ax)\,$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)$	201の双対で矩形波は理想的なローパスフィルターである。sinc関数はそのようなフィルターの非因果波応答である。
203	$\operatorname {sinc} ^{2}(ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)$	tri(x)は三角形関数である。
204	$\operatorname {tri} (ax)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right)$	203の双対
205	$e^{-ax}u(x)\,$	${\frac {1}{a+2\pi i\xi }}$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}$	${\frac {1}{a+i\nu }}$	u(x)はヘビサイドの単位ステップ関数であり、a>0
206	$e^{-\alpha x^{2}}\,$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\nu ^{2}}{4\alpha }}}$	これが示すものは、ガウス関数exp(−αx2)でαを選んだ場合はユニタリフーリエ変換である。 Re(α)>0で積分可能である
207	$\operatorname {e} ^{-a|x|}\,$	${\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	${\frac {2a}{a^{2}+\nu ^{2}}}$	a>0である
208	${\frac {J_{n}(x)}{x}}\,$	${\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(2\pi \xi )\,$   $\cdot \ {\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}\operatorname {rect} (\pi \xi )$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\omega )\,$   $\cdot \ {\sqrt {1-\omega ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)$	${\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\nu )\,$   $\cdot \ {\sqrt {1-\nu ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2}}\right)$	関数Jn (x)は、n次の第1種ベッセル関数である。関数Un (x)は第2種チェビシェフ多項式である。下記315と316を参照
209	$\operatorname {sech} (ax)\,$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)$	${\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\nu \right)$	双曲線正割は自分自身をフーリエ変換したものである

超函数

以下の表におけるフーリエ変換は (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	備考
	$f(x)\,$	${\hat {f}}(\xi )=$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx$
301	$1$	$\delta (\xi )\,$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )$	$2\pi \delta (\nu )\,$	δ(ξ) はディラックのデルタ関数
302	$\delta (x)\,$	$1$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,$	$1$	301の双対
303	$e^{iax}\,$	$\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)$	$2\pi \delta (\nu -a)\,$	103と301より導かれる。
304	$\cos(ax)\,$	${\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}$	${\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\,$	$\pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right)$	101、303とオイラーの公式：$\displaystyle \cos(ax)=(e^{iax}+e^{-iax})/2.$より導かれる。
305	$\sin(ax)\,$	$i\cdot {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}$	$i{\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a)}{2}}$	$i\pi \left(\delta (\nu +a)-\delta (\nu -a)\right)$	101、303と $\displaystyle \sin(ax)=(e^{iax}-e^{-iax})/(2i).$ より導かれる。
306	$\cos(ax^{2})\,$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
307	$\sin(ax^{2})\,$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
308	$x^{n}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )\,$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,$	$2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )\,$	n は自然数、 δ(n )(ξ) はディラックのデルタ関数のn 階微分。107と301より導かれる。さらに101と組み合わせることで、任意の多項式を変換できる。
309	${\frac {1}{x}}\,$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\xi )\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\nu )\,$	sgn(ξ) は符号関数。1/x は超関数ではないことに注意。シュワルツ関数に対してテストするときにコーシーの主値を使用する必要がある。この規則はヒルベルト変換を研究するとき有用である。
310	${\frac {1}{x^{n}}}$	$-i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu )$	309の一般化
311	${\frac {1}{\sqrt {|x|}}}\,$	${\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}$	${\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\nu |}}}$
312	$\operatorname {sgn}(x)\,$	${\frac {1}{i\pi \xi }}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\omega }}\,$	${\frac {2}{i\nu }}$	309の双対。積分はコーシーの主値を考える。
313	$u(x)\,$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	$\pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right)$	u (x ) はヘヴィサイドの階段関数。101、301および312より導かれる。
314	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)$	${\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T}}\right)$	この関数はくし型関数といわれる。302、102および、超関数として $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)$ であることから導かれる。
315	$J_{0}(x)\,$	${\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}$	J0 (x ) は0次の第1種ベッセル関数
316	$J_{n}(x)\,$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}$	315の一般化。Jn (x ) はn 次の第1種ベッセル関数、Tn (x ) は第1種チェビシェフ多項式。

二変数函数

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	備考
	$f(x,y)$	${\hat {f}}(\xi _{x},\xi _{y})=$ $\iint f(x,y)e^{-2\pi i(\xi _{x}x+\xi _{y}y)}\,dxdy$	${\hat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})=$ ${\frac {1}{2\pi }}\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dxdy$	${\hat {f}}(\nu _{x},\nu _{y})=$ $\iint f(x,y)e^{-i(\nu _{x}x+\nu _{y}y)}\,dxdy$	ξx , ξy , ωx , ωy , νx , νy は実変数。積分領域は全平面である。
401	$e^{-\pi \left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\right)}$	${\frac {1}{|ab|}}e^{-\pi \left(\xi _{x}^{2}/a^{2}+\xi _{y}^{2}/b^{2}\right)}$	${\frac {1}{2\pi \cdot |ab|}}e^{\frac {-\left(\omega _{x}^{2}/a^{2}+\omega _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }}$	${\frac {1}{|ab|}}e^{\frac {-\left(\nu _{x}^{2}/a^{2}+\nu _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }}$	両方のガウス関数は規格化されている必要はない。
402	$\mathrm {circ} ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$	${\frac {J_{1}\left(2\pi {\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}$	${\frac {J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}$	${\frac {2\pi J_{1}\left({\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}}$	元の函数は circ(r ) = 1 (0≤r ≤1), and 0 (otherwise) で定義される。これはエアリー分布であり、1次の第1種ベッセル函数 J1 で表される。

一般の n-変数函数

	もとの函数	ユニタリ・周波に関するフーリエ変換	ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換	備考
	$f(x)\,$	${\hat {f}}(\xi )=$ $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }\,dx$	${\hat {f}}(\omega )=$${\frac {1}{{(2\pi )}^{(n/2)}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx$	${\hat {f}}(\nu )=$ $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \nu }\,dx$
501	$\chi _{[0,1]}(|x|)(1-|x|^{2})^{\delta }\,$	$\pi ^{-\delta }\Gamma (\delta +1)|\xi |^{-(n/2)-\delta }\,$ $\cdot J_{n/2+\delta }(2\pi |\xi |)$	$2^{-\delta }\Gamma (\delta +1)\left|\omega \right|^{-(n/2)-\delta }$ $\cdot J_{n/2+\delta }(|\omega |)$	$\pi ^{-\delta }\Gamma (\delta +1)\left|{\frac {\nu }{2\pi }}\right|^{-(n/2)-\delta }$ $\cdot J_{n/2+\delta }(|\nu |)$	χ[0,1] は区間 [0, 1] の指示関数、Γ(x ) はガンマ関数、Jn /2+δ はn /2 + δ次の第1種ベッセル関数である。n = 2 およびδ = 0とすると402を得る。