テトレーション

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/17 23:29 UTC 版)

微積分

テトレーション $n a$ に対する $a$ は正の実数に対して定義できるので、 $n$ を固定したときにそれぞれ微分と積分が定義できる。

高さが定数の微分

任意の正の整数 $n$ に対し、 $n x$ の微分は次のようになる^[10]。

{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}{}^{n}x={\frac {1}{x}}\sum _{k=1}^{n}(\ln x)^{k-1}\prod _{j=n-k}^{n}{}^{j}x

$1/ 2 x$ 、 $2 x$ の $0$ から $1$ までの定積分は二年生の夢と呼ばれる。

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{{}^{2}x}}\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{}^{2}n}}&{\scriptstyle (=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots )}\\\int _{0}^{1}{{}^{2}x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }{{}^{2}(-n)}&{\scriptstyle (=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots )}\end{aligned}}

任意の正の整数 $n$ に対し、 $n x$ の不定積分は次のようになる^[11]。

\int {}^{n}x{\mathrm {d} }x=\sum _{j=0}^{n}{\frac {(-1)^{j}(j+1)^{j-1}}{j!}}b_{j}(x)+\sum _{j=n+1}^{\infty }(-1)^{j}a_{n,j}b_{j}(x)+C

ここで $a j,k$ は

a_{j,k}={\begin{cases}1&{\text{if }}k=0\\{\frac {1}{k!}}&{\text{if }}j=0\\{\frac {1}{k}}\sum _{l=1}^{k}la_{j,k-l}a_{j-1,l-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}

で与えられる有理数であり、 $b j (x)$ は第2種不完全ガンマ関数を用いて

b_{j}(x)=\Gamma \left(j+1,\ln x\right)

で与えられる。

脚注

注記

^ ここでは『iのi乗』と呼ばれている。

出典

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^ BOSTON UNIVERSITY COLLEGE OF ENGINEERING – EFFICIENT SELF-ORGANIZATION OF LARGE WIRELESS SENSOR NETWORKS

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