カイ二乗分布 カイ二乗分布の概要

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カイ二乗分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/28 00:55 UTC 版)

カイ二乗分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$
台	[0, ∞)
確率密度関数	${\displaystyle {\frac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{\,2^{k/2}\Gamma (k/2)}}}$
累積分布関数	${\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}$
期待値	k
中央値	${\displaystyle \simeq k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}}$
最頻値	0 for k < 2 k − 2 for k ≥ 2
分散	2k
歪度	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {k}}}}$
尖度	12/k
エントロピー	k/2 + ln 2 + ln Γ(k/2) + (1 − k/2)ψ(k/2)
モーメント母関数	${\displaystyle {\frac {1}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}t<1/2}$
特性関数	${\displaystyle {\frac {1}{(1-2it)^{k/2}}}}$
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独立に標準正規分布に従う k 個の確率変数 X₁, …, X_k をとる。このとき、統計量

${\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{k}{X_{i}}^{2}}$

の従う分布のことを自由度 k のカイ二乗分布と呼ぶ。

普通はこれを

${\displaystyle Z\sim \chi _{k}^{2}}$

と書く。カイ二乗分布は k という1個の母数をもつ。これは X_i の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。

カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、フリードマン検定（英語版）などにも利用される。