オイラーの公式 オイラーの公式の概要

オイラーの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2014/12/16 04:12 UTC 版)

オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、φ は複素数 e の偏角である。
e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.

ここで e· は指数関数、i虚数単位cos(·), sin(·) はそれぞれ余弦関数および正弦関数である[注 1]θ実数なら、θ複素数 e がなす複素平面上の偏角に対応する。

公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes) とされる。コーツは1714年

 \log(\cos x + i\sin x)=ix \

を発見した[1]が、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。

1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]

この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [2][3]だと述べている。

オイラーの公式は、変数 θ が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 θ に対応する余弦関数 cos と正弦関数 sin に等しいことを表す。このとき、偏角 θパラメータとする曲線 e は、複素平面上の単位円をなす。 特に、θ = π のとき(すなわち偏角が 180 度のとき)、

e^{i\pi}=-1

となる。この関係はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる[注 2]

θ が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。

オイラーの公式は、三角関数 cos θ, sin θ双曲線関数 cosh(), sinh()/i に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式フーリエ級数などの扱いを簡単にすることなどに利用される。

指数関数と三角関数

実関数として定義される指数関数 ex および三角関数 cos x, sin x を各々 x = 0 の周りのテイラー展開[注 3]を行えば

e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x

 

 

 

 

(1)

\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x

 

 

 

 

(2)

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x

 

 

 

 

(3)

となる。これらの級数の収束半径 であることはダランベールの収束判定法によって確認することができる[注 4]。従ってこれらの級数は、任意の複素数 x について広義一様に絶対収束し、これらの級数によって表される関数は整関数である。(なおこれらは多項式でないので超越整関数であり、無限遠点真性特異点に持つ)。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。

ここで、 exxix に置き換え、eix の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば

\begin{align}
e^{ix} 
&= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^n}{n!} x^{n}\\
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!} +\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} +i\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}
\end{align}

が成り立つ。上記式と三角関数の冪級数展開を比較すれば

e^{ix} = \cos x + i\sin x

が得られる。これは冪級数展開よる本公式の証明である。 この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。 たとえば、三角関数の加法定理は、指数法則 eaeb = ea + b に対応していることが分かる。ただし、指数法則を複素数まで拡張する場合は、複素数での指数法則の性質を証明する必要がある[4][注 5]

オイラーの公式を利用して三角関数を指数関数に置き換えることができる。たとえば余弦関数と正弦関数については直接的に、

\begin{align}
\cos z &= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \\
\sin z &= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\end{align}

という表現が得られる。

証明

この公式には、上記の冪級数展開による証明の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。

微分による証明

微分方程式による証明

2階線型微分方程式による証明

ロンスキー行列による証明

ド・モアブルの定理による証明


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参照

注釈

  1. ^ 指数関数 e·累乗を拡張したもので、複素数 x, y について ex × ey = ex+y という関係が成り立つ。e = e1 = 2.718281828...自然対数の底あるいはネイピア数と呼ばれる。
    虚数単位 ii2 = i × i = −1 を満たす数である。
    余弦関数 cos · および正弦関数 sin · は三角関数の一種である。正弦関数 sin θ は、直角三角形斜辺とその三角形の変数 θ に対応する角度を持つ鋭角対辺(正弦)の長さの比を表す。余弦関数 cos θ はもう一方の鋭角(余角)の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円(半径の長さを 1 とする円)の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す x, y 座標はそれぞれ cos θ, sin θ に等しい(θ は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、x 軸のなす角の大きさに対応する)。
    文献によっては、指数関数は、exponent(指数)から3字取って exp x (= ex) と表される。また虚数単位には i でなく j を用いることがある。
  2. ^ 三角関数の周期性(従って複素指数関数の周期性)により、オイラーの等式が成り立つのは θ = π に限らない。すなわち、任意の整数 z について θ = π + 2πz = 2π(z + 1/2)e = −1 を満たす。
  3. ^ このような原点を中心とするテイラー展開はしばしばマクローリン展開 (Maclaurin expansion) と呼ばれる。また一般に関数を冪級数として表すことを冪級数展開と呼ぶ。
  4. ^ 級数
    \scriptstyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
    の収束半径 R は、極限
    \scriptstyle r=\lim_{n \to \infty}\left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|
    が存在すれば、R = r である。(極限が存在しない場合、収束半径はこの方法では求まらない。) ex の収束半径は
    \begin{align}\scriptstyle 
\lim_{n \to \infty}\left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right|
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty}\left| \frac{(n+1)!}{n!} \right| \\ \scriptstyle 
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty}\left(n+1\right) \\ \scriptstyle 
&\scriptstyle = \infty
\end{align}
    となる。cos x の収束半径を求めるには、y = x2 についての級数と考えて、その収束半径を求めればよい。
    \begin{align} \scriptstyle 
\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!} \right|
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} \frac{\{2(n+1)\}!}{(2n)!} \\ \scriptstyle 
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} (2n+2)(2n+1) \\ \scriptstyle 
&\scriptstyle = \infty
\end{align}
    となるので、任意の y で収束し、したがって任意の x でも収束する。sin x もほぼ同様で、まず
    \scriptstyle \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} y^n
    を考える。この級数の収束半径は
    \begin{align} \scriptstyle 
\lim_{n \to \infty}\left |\frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!} \right|
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} (2n+3)(2n+2) \\ \scriptstyle 
&\scriptstyle =\infty
\end{align}
    であるので、任意の y で収束し、y = x2 を代入した級数も任意の x で収束し、それに x をかけた級数(すなわち sin x のマクローリン展開)も任意の x で収束する。 以上で (1), (2), (3) の右辺の収束半径が であることが証明された。
  5. ^ ea + b を冪級数で表し、各項を二項展開する。展開した項を改めて整理すれば、指数法則 ea + b = eaeb を導出できる。
    \begin{align}\scriptstyle
e^{a+b}
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(a+b)^n}{n!}\\
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{n!} \sum^{n}_{r=0} \frac{n!}{r!(n-r)!}a^{r} b^{n-r}\\
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{n=0} \sum^{n}_{r=0} \frac{a^{r} b^{n-r}}{r!(n-r)!}\\
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{r=0} \sum^{\infin}_{n=r} \frac{a^{r} b^{n-r}}{r!(n-r)!}\\
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{r=0} \frac{a^{r}}{r!} \sum^{\infin}_{n=r} \frac{b^{n-r}}{(n-r)!}\\
&\scriptstyle \overbrace{=}^{m \equiv n-r} \sum^{\infin}_{r=0} \frac{a^{r}}{r!} \sum^{\infin}_{m=0} \frac{b^{m}}{m!}\\
&\scriptstyle = e^{a}e^{b}.
\end{align}
  6. ^ i2 = −1 より i = −1/i であることを利用した。
  7. ^ e0 = 1 および sin 0 = 0, cos 0 = 1 を利用した。
  8. ^ cos x + i sin x は関数として 0 でないので。
  9. ^ 三角関数の半角公式を利用した。


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