![重点解説ハミルトン力学系 2016年 12 月号 [雑誌]: 数理科学 別冊](https://m.media-amazon.com/images/I/51+UBOS9DKL._SY445_SX342_.jpg)
自由度nの相空間D（(q,p) ∈D）でハミルトンの正準方程式で記述される力学系はハミルトン力学系と呼ばれ、ラグランジュ系とともに解析力学の主題である。ハミルトン力学系の可積分系及びその摂動の研究から、作用-角変数の存在を保証する「リウヴィル-アーノルドの定理」や不変トーラスの存在に関する「KAM定理」などの素晴らしい定理が導かれ、更に戸田格子やソリトンなど「ラックス形式」で表示される可積分系や摂動論的なアプローチを許容しない「カオス力学系」が生まれたことは良く知られている。本書ではハミルトン力学系の可積分系とKAM定理が詳しく解説され、KAM定理の発展についても触れられている。
前半の三つの章「ラグランジュ系」、「ハミルトン系」、「シンプレクティック写像の力学系」は、その後の主題への予備知識のまとめに相当し、解析力学を学ばれた方には常識と言える事柄かも知れない。配位空間M（q∈M）に対し、ラグランジュ系とハミルトン系はそれぞれ接束TMと余接束T*Mの力学系に対応していることに注意したい。ラグランジアンL(q,q・,t)に現れる変数q・（上付きのドット）の成分は接ベクトルの成分、ハミルトニアンH(q,p,t)に現れる変数pは1次微分形式の成分にあたり、ハミルトニアンはラグランジアンのq・に関するルジャンドル変換であるので、（ルジャンドル変換の対合性も考慮して）ラグランジュ系とハミルトン系はルジャンドル変換を介して同等であるという重要な事実を確実に理解しておきたい。
第4章で第一積分と可積分系に関する主定理である「ネーターの定理」と「リウヴィル-アーノルドの定理」が解説されている。相空間や余接束の標準シンプレクティック形式ω（ω=Σ dpi^dqi）に対し、滑らかな関数fのハミルトンベクトル場をXf、ハミルトニアンをhとすると、Xh(f) = df(Xh) = ω(Xf,Xh) = {f,h}だから、この値が0の場合、fが第一積分（保存量）である事とfが生成するハミルトン流でhが一定である事（上式はfとhに関し交代的だから、hが生成するハミルトン流でfが一定である事と同等である事に注意）が同値であるという主張がネーターの定理の本質といえる。リウヴィル-アーノルドの定理では、完全可積分系で作用-角変数が存在し、（循環座標となる角変数と）作用変数のレベル集合としてラグランジュ部分多様体（リウヴィルトーラス）を抽出できることを見抜いたことがアーノルドの業績の素晴らしさだろう。この章では振り子や自由度2のケプラー問題のハミルトニアンに対する作用-角変数を求める詳しい計算が示され、それらが後続の章で活用されていることが分かり感心させられる。第5章では、可積分系をパラメータに関し解析的に摂動すると一般に非可積分系になるという「ポアンカレの定理」が解説されている。
第6章「KAM定理」と第7章「KAM定理の応用」が本書のハイライトである。可積分系の振動数ベクトルがディオファントス条件を満たせば、十分小さな摂動に対して、不変トーラスとその上のクロネッカー軌道がその摂動系においても存在することを保証するのが「KAM定理」である。ここではコルモゴロフの証明を厳密化した詳細な証明が紹介されており、逐次近似に用いられる正準変換を構成するアイディアの素晴らしさに感動を覚える。KAM定理の応用として、外力付き振り子や平面円周制限三体問題の平衡点での安定性が考察され、特に制限三体問題ではラグランジュの正三角形解に対応する平衡点でのバーコフ標準形まで紹介されている。最終第8章では、KAM理論の発展に関し、ポアンカレ-バーコフの不動点定理の拡張にあたるオーブリー-マザー理論、ハミルトン-ヤコビ方程式の粘性解とラックス-オレイニック半群の不動点との深い関係など、今まで和書の成書で取り上げられたことがない話題が紹介されており非常に興味深い。
【付記】
本書を読みながら最も多く参照したのは、伊藤秀一『
常微分方程式と解析力学 (共立講座 21世紀の数学)
』と大貫義郎、吉田春夫『
力学【現代物理学叢書】 (岩波オンデマンドブックス)
』の二冊の書であった。前者は本書と相互に補完する話題を多く含む良書であり、後者はジグリン解析など積分不可能な力学系の判定条件の解説を含む貴重な書であり、ともに薦められると思う。
シンプレクティック幾何学では深谷先生の定番書に加え、本ライブラリSGC-118の植田一石『
数物系のためのシンプレクティック幾何学入門 2015年 07 月号 [雑誌]: 数理科学 別冊
』がハミルトン作用と運動量写像の有用性や面白さを実感できる素敵な書として薦められる。植田先生の書のレビューで述べたように、ハミルトン力学系の可積分系と摂動論に興味を持ったのは、40年近く前に斉藤利弥『解析力学入門』（現在『
解析力学講義 (日評数学選書)
』として刊行）、Arnoldの有名なテキスト、更に丹羽敏雄『
力学系 (紀伊国屋数学叢書 (21))
』などを読んだことに始まる。本書で斉藤先生の書の31節「零速度曲線」の存在領域が本書のヒル領域であること、また丹羽先生の書で教えられたラグランジュの正三角形解の安定性の証明が本書で非常に詳しく解説されていることを知り、旧知の友に再会できたような喜びを感じることができた。
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