コンパクトリーマン多様体間の写像のエネルギー汎関数の臨界点となる写像を「調和写像」といい、多様体上の測地線や極小部分多様体などの概念の自然な拡張になっている。調和写像の理論を基礎から解説する本書は、この理論の面白さを実感できる格好の入門書である。本書のどこが良くて素晴らしいのか、以下に述べてみたい。
先ず、有限次元多様体間の写像空間C(M,N)を通して、バナッハ空間をモデルとする無限次元多様体を研究する必然性を教えてくれる。この写像空間における可微分写像φ: (M,g)→(N,h)の接空間がφに沿うベクトル場全体の空間Γ(φ*TN)と同一視できるという事実が重要で、これから誘導束φ*TN上の線形接続でファイバー計量φ*hと両立する「誘導接続」を考察する必然性が理解できる処が素晴らしい。
次に、無限次元多様体上の関数が最小値を持つためのパレ･スメールの条件(C)の詳しい解説やエネルギー関数の第1変分公式（テンション場＝0という調和写像の定義）、第2変分公式（ヤコビ作用素の導出）の解説は、ミルナーの名著『
モース理論
』の現代版と見なす事ができる。特に、第2変分公式と調和写像の安定性の関係を解説する第5章は、ラプラシアンのスペクトル幾何との関係も非常に深く、本書のハイライトといえる。
最後に、Nが非正曲率である場合に調和写像の存在を主張するイールス・サンプソンの有名な定理に加え、Nが球面、複素射影空間、ユニタリ群の場合の解説があり、面白くとても有益である。水平的な調和写像ψとリーマン沈め込みπの合成π・ψは調和写像になるが、この逆はどの様な場合に成り立つのだろう？と想像してみるのも楽しいと思う。
久しぶりに本書を読み直してみて、「とても良書である」との意を一層強くした。この方面ではJ. Jost教授の『Riemannian Geometry and Geometric Analysis』も面白く、本書と併せてお薦めしたい。
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