「初等幾何の範疇での証明が見つかっていない問題群のうちの１つ」と称される問題に出会い（http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/q36.html）
以前編み出した手法（http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n360242）を適用した。おそらく「初等幾何の範疇」と呼べる証明を実現できているのではないかと思う。
[下図のように]
△ABC の外心 P, △DBC の外心 Q, △PQC の外心 R をとる
△PRC ≡ △PSA, △QRC ≡ △DTQ となる S,T をとる
・RQT は 正三角形となる
SPを1辺とする正五角形SPUVW をかく
・PURは正三角形となる
DTを1辺とする正三角形DTX、平行四辺形URTYをかく
・折れ線 ASWV と 折れ線 UYTX は合同となる
・DX // VU 従って DXUVは平行四辺形となる
△UYX≡DS'V となるようにS'をとる
従って △ASV≡DS'Vでもあり、SADS'は等脚台形となる。
この等脚台形の内角を知ることができて∠Aが求まる。
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角度検証
RPC は底角26度の二等辺三角形
RQC は底角16度の二等辺三角形
∠CQD = 92度, ∠RQT=92-16-16=60度 (→RQTは正三角形)
∠RPS = ∠CPA = 168度, ∠RPU=168-108= 60度 (→PURは正三角形)
∠UYT = ∠URT = ∠PRQ = 20度
∠ASP = 180-26*2 = 128度, ∠ASW = 128 - 108 = 20度
∠YTX = 360-(180-20)-∠RTX = 108度 (→折れ線の合同)
∠VUY = 360-(180-20) - 60 - 108 = 32度
DXとUYがなす角度 = DXとRTがなす角度
= ∠RTX-60 = 360-(180-16*2)-60-60-60=32度 (DX//VU)
∠SVU=72度, ∠YXD = 60-36=24度, よって∠SVS'=72+24=96度
∠ASS'=20+36+(180-96)/2 = 98度, よって∠SAD=82度
∠BAS=68-26=42度 から ∠ADB = 180-38-42-82 = 18度
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[裏でやった計算]
AS,SP,PR,RQ,QT,TD の BC に対する偏角は -52,-2,10,170,50,82度である。
z=exp(2πi/360) とおいて
f = z^(-54)+z^(-2)+z^10+z^170+z^50+z^82
が z^28の実数倍であることを示せば良い
zの最小多項式は96次であるから
zの指数を 28±48以内になるように一意的に変形できる
g = z^28*(-z^42-z^38+z^22+z^18+z^6+1/z^6+1/z^18+1/z^22-1/z^38-1/z^42)
そしてこの形は f=g が z^28の実数倍であることを示している。
差をとって
h = z^170+z^82+z^70+z^66-z^46-z^34-z^22-z^6+1/z^2+1/z^10+1/z^14+1/z^54 = 0
を示せば良い。負の項は指数に180を足して符号をそろえておくと見やすい
h = z^226+z^214+z^202+z^186+z^170+z^82+z^70+z^66+1/z^2+1/z^10+1/z^14+1/z^54 = 0
・z^170+1/z^10 が反対側を向いているので消える
・z^186+z^66+1/z^54 が正三角形をなすので消える
残りを適当に処理する
(z^286)+z^214+(z^142)+z^70+1/z^2 = 0 (正五角形)
z^226+(z^106)+1/z^14 = 0 (正三角形)
(z^322)+z^202+z^82 = 0 (正三角形)
括弧で括った4項は新しく追加した項だが
2つずつ反対側を向いているので消える。
以上を適宜工夫しつつ作図に還元した。
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※この手法が常に通用することは代数拡大の理論から洞察できる
※公開されている解答例も示唆するようにこの問題に対しては
正五角形の利用あるいはそれに相当する操作が必須と考える
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・10/29 誤植を直しました
・まさか著者さんからコメント頂きました ありがとうございます
・(18, 144/7, 24, 450/7, 90/7) のほうも取り組み、10/30下記を構成：
∠ABD=18度、∠DBC=144/7度、∠ACB=24度、∠DCA=450/7度のとき
∠ADB=90/7度を示す。
[下図のように]
△ABCの外心P, △DBCの外心T, △BPQの外心Rをとる
△ASP≡△PRB, △DTQ≡△QRB となる S,Tをとる
PRを1辺とする星型（正五角形の対角線） P-R-R2-R3-R4 をかく
U,V､Wをとって正七角形 R2-R-Q-T-U-V-W がかける
直線R4-U を対称軸にして 折れ線P-S-A, U-T-Dを
折り返したものをそれぞれ R3-S'-A', U-V-D'とおく
またR4-R3-X, R4-P-Y が正三角形となるようなX,Yをとる
SP // TU, AS//X-R4, X-R3//VD' 等の平行が成り立つ
A-S-P-Y-R4-X-R3-S'-A' の折れ線と D-T-U-V-D'の折れ線が同等であることが確認できる。（古典的に示すなら平行移動と合同を繰り返す）
従ってAD//A'D' 従って AD//R4-U
R4-U とそこらへんの辺となす角度は既知であろう。（具体的な角度検証は省略）
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[背景計算]
zを1の原始420乗根として
f=-z^91+1/z^75-1/z^63+z^45+1/z^15+z^49が実数であることを示すことになる
先の問題では f = g+(gの共役) と変形することで示したが
f-(fの共役) = 0 を示す方がやりやすいことに気がついた：
すなわち f'=-1/z^91+z^75-z^63+1/z^45+z^15+1/z^49とおいて
f-f'=0であることを示せば良い
指数が7の倍数でないところを正七角形で表現すると指数が7の倍数の項が残り
指数が3の倍数でない所を正三角形で表現すると指数が21の倍数の項が残り
残りを正五角形で表現して以下を得た：
f-f' =
-(z^75-z^45+z^15-1/z^15+1/z^45-1/z^75+1/z^105)
+(z^49-1/z^21+1/z^91)-(z^91-z^21+1/z^49)
+(z^63-z^21+1/z^21-1/z^63+1/z^105)
これを作図に還元した。
