Na in het tiende hoofdstuk met de in eerdere hoofdstukken beschreven methoden zijden van veelhoeken met grote aantallen zijden te hebben uitgerekend, komt Van Ceulen in hoofdstuk 11 met zijn beroemd geworden benadering van pi.

Benadering van pi

In hoofdstuk 11 lijkt Van Ceulen geen nieuwe methoden meer te introduceren. Hij begint met de ingeschreven 167772160-hoek. Met de in hoofdstuk 9 uitgelegde methode berekent hij nu de zijde van de omgeschreven veelhoek met evenzoveel zijden. Zoals eerder laten zien, is deze zijde genoteerd als een geneste wortel. Hij gaat dus van binnen naar buiten iedere keer de wortels uitrekenen. Na 26 stappen komt hij uiteindelijk aan bij de laatste wortel. Het mooie is dat hij met zijn tabel van 26 getallen niet alleen de zijde van de 167772160-hoek kan uitrekenen, maar ook die van de 5-hoek en alle tussenliggende resultaten. Dit komt door de vorm waarin de lengten van de zijden worden opgeschreven. Van Ceulen schrijft echter dat hij deze lengtes niet zal gaan gebruiken, omdat hij in dit hoofdstuk op zoek is naar een benadering voor pi.

Zijn benadering van pi bestaat uit het uitrekenen van de boven- en ondergrenzen van pi. Dit doet hij met behulp van de zijden van de 160 tot en met 10485760-hoek. Vervolgens komt hij tot de conclusie dat deze benadering van pi zo goed is, dat het op een afstand van honderden mijlen slechts een haar zou schelen. Toch is hij nog niet helemaal tevreden. Hij schrijft in zijn werk dat hij alle berekeningen netjes gecontroleerd heeft, en dat hij lust heeft om nog verder te rekenen (dus eigenlijk puur om het rekenen zelf, want voor praktische toepassingen is de gevonden benadering meer dan goed genoeg). Dit staat in sterk contrast tot de inleiding van het boek, waarin hij schrijft dat hij het niet eens is met de onnauwkeurigheid waarmee landmeters stukken grond opmeten. Dit gaf ons het idee dat Van Ceulen een echte wiskundige was, die het geen probleem vond om de praktische toepassing uit het oog te verliezen. Vervolgens gaat hij in- en omgeschreven veelhoeken met een nog groter aantal hoeken bekijken, om uiteindelijk te eindigen bij de 64424509440-hoek.

Dit geeft hem het volgende resultaat: 3,14159265358979323846 < pi < 3,14159265358979323847. Dit resultaat is ook te zien op de voorkant van het boek:

Hij benadrukt nogmaals dat mochten wij een cirkel hebben met een straal die vele mijlen lang is, de omtrek zo precies te berekenen is, dat je nog geen breedte van een haar naast de werkelijke waarde zit. Aangezien dit bij het vorige resultaat ook al het geval was, bevestigt dit ons vermoeden dat Van Ceulen puur uit liefde voor het rekenwerk zo ver door is gegaan.