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本書は，話題を楕円関数に特化し，それを歴史的な流れに沿って解説することで，数学の面白さに対する興味や関心が自然に繋がり高まっていくように試みたものである。楕円関数は，近年情報系分野の人たちにも注目されているが，何にもまして19世紀から20世紀の数学の方向を導いて来た話題である。クラインの言っていた三つの「A」，すなわち Arithmetic, Analysis, Algebra の統合・発展の契機となった話題であり，文化的な教養として取り上げるにふさわしい。また，本書の他に類を見ない特徴として「虚数乗法」の記述がある。楕円関数論にとって重大な役割を果たし，結局は100年をかけた類体論への道標となったものであり，アーベル，ヤコビ，クロネッカーらの系譜に流れているものを数学文化として顕在化しておくことは価値がある。本書は概観でしかないが，広大な数学世界へのひとつの足掛かりとしての役割を果たしてくれるだろう。

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本の長さ

136ページ
言語

日本語
出版社

共立出版
発売日

2015/6/25
寸法

15.3 x 1.3 x 21.7 cm
ISBN-10

4320111109
ISBN-13

978-4320111103
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出版社 ‏ : ‎ 共立出版 (2015/6/25)
発売日 ‏ : ‎ 2015/6/25
言語 ‏ : ‎ 日本語
単行本 ‏ : ‎ 136ページ
ISBN-10 ‏ : ‎ 4320111109
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場野量子

楕円関数への代数学的アプローチ

2015年9月11日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

もともと楕円関数は楕円積分，すなわち3次または4次の多項式の平方根を含む積分の逆関数として定義された．しかし本書では，2重周期をもつ有理型関数として，ワイエルシュトラースのペー関数による構成的方法に基づく理論を展開している．したがって，snやcnで知られるヤコービの楕円関数に関する記述は全くない．また楕円テータ関数についての記述もない．本書では，こういった解析学的な側面よりも代数学的理論構成に重点が置かれている．楕円関数の2つの周期の比 τ の関数である楕円モデュラー関数や，類体論へと導かれる虚数乗法論，5次以上の多項式の平方根を含む超楕円積分，そしてリーマン・ロッホの定理などの紹介がなされる．
証明はあまり細部の厳密性にこだわらないで，文献を引用するかたちをとっている．解析関数論に関しては一通りの説明がなされているが，抽象代数学については解説がない．読者は群，環，イデアル，体などについて十分理解しているものと想定されている．本書の記述で特徴的なのは，式や定理の番号が一切ないことである．引用する定理には言葉で名前を付けている．式は使う時にもう一度書いている．論文ならばこういう書き方をすると叱られるのだが，読者にとってはあちこちページをめくって探さなくても読めるのでありがたい．

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雑学家

複素関数論の奥の院の世界へ基礎理論を論理と歴史の両面から解説した

2021年6月14日に日本でレビュー済み

内容紹介
楕円積分から楕円関数の虚数乗法まで解説。また超楕円積分や超楕円曲線とそのJacobi多様体について、Riemann-Rochの定理に依拠して第一種微分の空間を決定し、これを用いて紹介する。
内容
第1章楕円積分とそのRiemann面(円の弧長とレムニスケートの弧長;楕円積分ほか);第2章複素関数論から(複素平面上の基本的な図形;区分的に滑らかな曲線とJordanの曲線定理ほか);第3章楕円関数と周期加群(楕円積分の積分関数と逆関数;周期加群とWeierstrassの〓(ペー)関数ほか);第4章虚数乗法(複素輪環面の間の同型写像;Abelの意味での虚数乗法ほか);第5章超楕円積分とそのRiemann面(超楕円積分とそのRiemann面;超楕円曲線のJacobi多様体ほか)

共著に「類体論講義」があり。第4章では類体論に関連した虚数乗法が登場。
参考文献として佐武一郎著「現代数学の源流」を勧めている。
レヴュアーには難い書き方なので内容紹介のみ。
まずyou tube動画: 350年間解かれなかった難問フェルマーの最終定理【なぜ1994年に解けたのか？数学的に背景ときっかけを解説】
：楕円関数論（１９）：保型形式への入り口
：楕円関数論しょーとこーす（１）Jacobiの楕円関数
などを見るのが非常に理解に役立つ。
もっと理解しやすい本は
「楕円積分と楕円関数おとぎの国の歩き方」武部尚志
「わかりやすいリーマン面と代数曲線(上) 」繭野孝和
「保型関数: 古典理論とその現代的応用」志賀弘典
「リーマン面と代数曲線」今野一宏

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