バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
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数学において、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想（バーチ・スウィンナートン＝ダイアーよそう、英語: Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）は、数論の分野における未解決問題である。略してBSD予想 (BSD conjecture) と呼ばれ、最も難しい数学の問題の 1 つであると広く認められている。予想はクレイ数学研究所によってリストされた 7 つのミレニアム懸賞問題の 1 つとして選ばれ、最初の正しい証明に対して100万ドルの懸賞金が約束されている[1]。予想は機械計算の助けを借りて1960年代の前半に予想を立てた数学者ブライアン・バーチとピーター・スウィンナートン＝ダイアーにちなんで名づけられている。2014年現在[update]、予想の特別な場合のみ正しいと証明されている。
- ^ Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture at Clay Mathematics Institute
- ^ Cremona, John (2011). “Numerical evidence for the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture”. Talk at the BSD 50th anniversary conference, May 2011.
- ^ Koblitz, Neal (1993). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics. 97 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2
- ^ Heath-Brown, D. R. (2004). “The Average Analytic Rank of Elliptic Curves”. Duke Mathematical Journal 122 (3): 591–623. doi:10.1215/S0012-7094-04-12235-3.
BSD予想
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詳細は「バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想」を参照 BSD予想は、クレイ研究所のミレニアム懸賞問題の一つである。予想は、問題を楕円曲線により定義される解析的で数論的な対象に依拠して記述している。 解析側での重要な側面は、複素変数関数である K 上の E のハッセ・ヴェイユのゼータ関数 L E / K {\displaystyle L_{E/K}} である。この関数はリーマンゼータ関数やディリクレのL-関数の変形である。有理数体上の楕円曲線の場合、L は全ての素数 p について一つの要素を持つオイラー積として定義される。 整数係数 ai で、 y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}} の最小多項式与えられる Q 上の曲線 E に対する法 p での還元は、有限体 Fp 上の楕円曲線を定義する（有限個の例外を除く素数 p で還元された曲線は特異点を持ち、従って楕円曲線にならない。そのような場合を p では E は悪い還元（英語版）(bad reduction)であるという。） 有限体 Fp 上の楕円曲線のゼータ関数は、ある意味で、有限な体の拡大 Fp の中の E の点の数の情報を集める母関数 Fpn である。この母関数は、 Z ( E ( F p ) ) = exp ( ∑ card [ E ( F p n ) ] T n n ) {\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}))=\exp \left(\sum \operatorname {card} \left[E({\mathbf {F} }_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)} で与えられる。 冪の右肩に乗っている指数の和は、対数の展開に似ていて、実際、そのように定義されるゼータ関数は有理関数 Z ( E ( F p ) ) = 1 − a p T + p T 2 ( 1 − T ) ( 1 − p T ) {\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}))={\frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}}} である。 よって、Q 上の E のハッセ・ヴェイユのゼータ関数は、全ての素数 p についてのこれらの情報を互いに集めることにより定義される。すなわち、 L ( E ( Q ) , s ) = ∏ p ( 1 − a p p − s + ε ( p ) p 1 − 2 s ) − 1 {\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod _{p}\left(1-a_{p}p^{-s}+\varepsilon (p)p^{1-2s}\right)^{-1}} と定義される。ここに、E が p で良い還元を持つ場合は、ε(p) = 1 であり、そうでない場合は 0 である(良い還元を持たない場合は、ap が上記とは異なる定義となる）。 この積は Re(s) > 3/2 でのみ絶対収束する。ハッセの予想はこの L-関数は全複素平面へ解析接続され、任意の s に対して、L(E, s) を L(E, 2 − s) へ関連付ける関数等式を満たすのではないかと言う予想であった。1999年、この予想は、谷山志村予想の証明の結果であることがしめされた。谷山志村予想は、Q 上の全ての楕円曲線はモジュラーであるいう予想であり、このことは、楕円曲線の L-関数は解析接続が知られているモジュラー形式のL-関数であることを意味する。 このことにより、任意の複素数 s での L(E, s) の値についていうことができる。BSD予想は s = 1 での曲線の L-関数の振る舞いへ曲線の数論を関連付ける。さらに詳しくは、s = 1 での L-関数の位数は、E のランクに等しく、楕円曲線に関連するいくつかの量を表すこの点での L(E, s) ローラン級数の主要項であることを予想している。 リーマン予想と良く似ていて、この予想は次の 2つを含む多くの結果を持っている。 n を奇数の非平方である整数とする。BSD予想が成立することを前提とすると、n が有理数の辺の長さを持つ直角三角形の面積となる（合同数である）ことは、 2 x 2 + y 2 + 8 z 2 = n {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n} を満たす整数 (x, y, z) の三つ組の数が、 2 x 2 + y 2 + 32 z 2 = n {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n} を満たす三つ組の数の 2倍であることと同値である。このステートメントは、タネルの定理により n が合同数であることと、楕円曲線 y 2 = x 3 − n 2 x {\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x} が無限オーダーの有理点を持っていることに関連付ける（BSD予想を前提とすると、L-関数は 1 で零点を持つ）。ここで言っていることの主眼は、条件が簡単に評価されることである。 別な方向としては、ある解析的方法はL-関数の族の臨界帯の中心での 0 のオーダーを見積もることを可能とする。BSD予想を仮定すると、これらの見積もりは、問題の楕円曲線の族のランクについての情報に対応する。例えば、 は、一般化されたリーマン予想とBSD予想を想定して、 y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b} で与えられる楕円曲線の平均ランクは 2 よりも小さいことが示された。
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