0.999...
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数学において"0.999…"は、小数点の後に無限に"9"が続く循環十進小数である。
注釈
- ^ 例えば、最初の節 #代数的な証明 に挙げる「代数的証明」は「正しい」証明だが、その証明の正当性は後の節 #解析的な証明 に記す解析学的手法である極限の概念によって保証される。同様にそれら解析学的証明を「正しい」証明たらしめているのは実数の特質に他ならない。しかし普通は、実数の公理にまでいちいち遡らずにいくつかの性質を「認めて」、そこで切り上げるのである。もちろん実数の代替となる体系において、実数と異なる性質に基づけば、それら「証明」はそのどこかが崩され、「間違った」証明となり得る。
- ^ a b cf. 同様な議論の二進法版も以下にある。Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
- ^ 統合の歴史的な過程は以下を参照:Griffiths and Hilton (p.xiv) in 1970。また、再び Pugh (p.10) in 2001。両方とも実際には公理的解析論よりもデデキント切断を好んでいる。切断の方法の教科書については以下を参照:Pugh p.17 or Rudin p.17. 論理的視点については Pugh p.10, Rudin p.ix, or Munkres p.30
- ^ Enderton (p.113) は以下の記述を与えている。『デデキント切断の背景にあるアイディアは、有理数、つまり x より小さいすべての有理数の無限集合を与えられることによって実数 x が名づけられるということである。循環論法を避けるため、この方法で得られる有理数の集合が特徴づけられなければならない。』
- ^ 超準的な数の完全な取り扱いはロビンソンの Non-standard Analysis を参照。
- ^ Berlekamp, Conway, and Guy (pp.79-80, 307-311) は 1 と 1/3 について議論しており、さらに 1/ω について触れている。0.111… のゲームはバールカンプのルールに直接に従っており、それは以下に述べられている。A. N. Walker (1999年). “Hackenstrings and the 0.999⋯ =1 FAQ”. 2006年6月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年6月29日閲覧。
- ^ Richman pp.398-400. Rudin (p.23) は第1章の最後の練習問題として、この代替構造(ただし実数上)を選んでいる。
- ^ Maor (p.60) および Mankiewicz (p.151) は前者の方法を振り返る。Mankiewicz はそれがカントールの仕事だとしているが、最初の出所は定かではない。Munkres (p.50) は後者の方法に言及している。
出典
- ^ 佐藤得志「実数のN 進小数展開の具体的表示について」『宮城教育大学紀要』第53巻、2019年1月31日、149-158頁。 p.150 より
- ^ Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
- ^ Euler p.170
- ^ Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
- ^ 例えば、J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
- ^ この極限については例えば以下に従う: Rudin p.57, Theorem 3.20e。より直接的なアプローチについては、以下も参照:Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
- ^ Davies p.175; Smith and Harrington p.115
- ^ Beals p.22; I. Stewart p.34
- ^ Bartle and Sherbert pp.60-62; Pedrick p.29; Sohrab p.46
- ^ Apostol pp.9, 11-12; Beals p.22; Rosenlicht p.27
- ^ Apostol p.12
- ^ Rudin pp.17-20, Richman p.399, or Enderton p.119。正確には、この3人はこの切断をそれぞれ 1*, 1−, 1R と呼んでいる。3人ともそれを伝統的な 1 の定義と同一視している。Rudin と Enderton が『デデキント切断』と呼ぶものを Richman は『nonprincipal なデデキント切断』と呼ぶことに注意。
- ^ Richman p.399
- ^ a b J J O'Connor and E F Robertson (2005年10月). “History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert”. MacTutor History of Mathematics. 2006年8月30日閲覧。
- ^ “Mathematics Magazine:Guidelines for Authors”. The Mathematical Association of America. 2006年8月23日閲覧。
- ^ Richman pp.398-399
- ^ Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" p.386
- ^ Griffiths & Hilton pp.388, 393
- ^ Griffiths & Hilton p.395
- ^ Griffiths & Hilton pp.viii, 395
- ^ Gowers p.60
- ^ Lightstone pp.245-247
- ^ Katz & Katz 2010
- ^ Stewart 2009, p.175; the full discussion of 0.999… is spread through pp.172-175.
- ^ Benardete, José Amado (1964). Infinity: An essay in metaphysics. Clarendon Press. p. 279 2011年11月27日閲覧。
- ^ Richman pp.397-399
- ^ Gardiner p.98; Gowers p.60
- ^ a b Fjelstad p.11
- ^ Fjelstad pp.14-15
- ^ DeSua p.901
- ^ DeSua pp.902-903
- ^ Petkovšek p.408
- ^ Protter and Morrey p.503; Bartle and Sherbert p.61
- ^ Komornik and Loreti p.636
- ^ Kempner p.611; Petkovšek p.409
- ^ Petkovšek pp.410-411
- ^ Leavitt 1984 p.301
- ^ Lewittes pp.1-3; Leavitt 1967 pp.669, 673; Shrader-Frechette pp.96-98
- ^ Pugh p.97; Alligood, Sauer, and Yorke pp.150-152。Protter と Morrey (p.507) および Pedrick (p.29) はこの記述を練習問題として位置づけている。
- ^ Rudin p.50, Pugh p.98
- ^ Bunch, p.119; Tall and Schwarzenberger, p.6. 最後の提案は Burrell (p.28) による。すなわち、「おそらくすべての数の中で最も安心する数は 1 であろう。したがって、0.999… を 1 として扱うときにとりわけ不安を覚える。」
- ^ Tall and Schwarzenberger pp.6-7; Tall 2000 p.221
- ^ Tall and Schwarzenberger p.6; Tall 2000 p.221
- ^ Tall 2000 p.221
- ^ a b Tall 1976 pp.10-14
- ^ Pinto and Tall p.5, Edwards and Ward pp.416-417
- ^ Mazur pp.137-141
- ^ Dubinsky 他 261-262
- ^ Richman (p.396) が述べている。Hans de Vreught (1994年). “sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1?”. 2006年6月29日閲覧。
- ^ Cecil Adams (2003年7月11日). “An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?”. The Straight Dope. The Chicago Reader. 2006年9月6日閲覧。
- ^ “Blizzard Entertainment® Announces .999~ (Repeating) = 1”. Press Release. Blizzard Entertainment (2004年4月1日). 2006年9月3日閲覧。
- ^ Wallace p.51, Maor p.17
- ^ 例えば以下を参照。J.B. Conway's treatment of Möbius transformations, pp.47-57
- ^ Maor p.54
- ^ Munkres p.34, Exercise 1(c)
- ^ Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (1980). Thermal Physics (2e ed.). W. H. Freeman. p. 462. ISBN 0-7167-1088-9
- ^ “Floating point types”. MSDN C# Language Specification. 2006年8月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年8月29日閲覧。
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「THE IDOLM@STER SideM WORLD TRE@SURE」の記事における「09」の解説
2019年8月7日発売。ロシアをテーマにしている。歌は神谷幸広(狩野翔)、山下次郎(中島ヨシキ)、古論クリス(駒田航) 収録曲 眠らぬ夜にスパシーバ!作詞:真崎エリカ、作曲・編曲:原田篤(Arte Refact) MEET THE WORLD!(RUSSIA Ver.) 眠らぬ夜にスパシーバ!(Off Vocal)
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「THE IDOLM@STER SideM ORIGIN@L PIECES」の記事における「09」の解説
2017年12月6日発売。ピエール、秋山隼人、蒼井悠介、舞田類、卯月巻緒が参加。 収録曲 魔法のステアー歌:ピエール(堀江瞬) 作詞:真崎エリカ、作編曲:桑原佑介 PRECIOUS TONE歌:秋山隼人(千葉翔也) 作詞:結城アイラ、作曲:小野貴光、編曲:玉木千尋 “W”orldwide Ambitions!歌:蒼井悠介(菊池勇成) 作詞:松井洋平、作編曲:渡辺和紀 THIS IS IT!歌:舞田類(榎木淳弥) 作詞:松井洋平、作編曲:矢鴇つかさ(Arte Refact) ワンホール=ワンダーランド!歌:卯月巻緒(児玉卓也) 作詞:真崎エリカ、作編曲:原田篤(Arte Refact)
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「THE IDOLM@STER MILLION LIVE! M@STER SPARKLE2」の記事における「09」の解説
2022年9月28日発売予定。三浦あずさ・北上麗花・箱崎星梨花・宮尾美也・横山奈緒が参加。CDジャケットのテーマは「社会」
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「09」の例文・使い方・用例・文例
- ダーウィンの生年は1809年で没年は1882年だ
- 日本政府は2009年2月に国家短期証券の発行を開始した。
- 2009年の労働争議は総件数780件で対前年比18.7%増、総参加人員は61,482人で同34.8%減だった。
- しかし、私の母は2009年に他界しました。
- 2009年より支店で働いています。
- この薬は2009年より日本で使用可能となった。
- 2009年から株価は上昇し始め、ついに今年で最高値に達した。
- 恒星日(じつ) 《23 時間 56 分 4.09 秒》.
- 三つ星地所, 終り値 1,090 円で 30 円高.
- 1096年から1099年までの十字軍
- ナポレオン戦争中の戦い(1809年)
- オーガスタスが西暦27年に力を得るまでの、紀元前509年からの古代のローマの状態
- コロラド州中部にあるロッキー山脈中の峰(14、109フィート)
- 南西コロラド州のサンファン山脈の最高峰(標高14,309フィート)
- ペルーのアンデス山脈の山頂(高さ21,709フィート)
- 米国の小説家(1909年−1955年)
- 米国の作家(1909年−1981年)
- オランダ人のプロテスタントの神学者で、ジョン・カルバンの絶対的な予定説に反対したアルミニウス説を創立した(1559年−1609年)
- フランスの飛行士で、1909年に英仏海峡を横断する最初の飛行を行った(1872年−1936年)
- フランス人の教育者で、3歳のときに失明し、目の見えない人々のために書いて印刷するシステムを発明した(1809年−1852年)
固有名詞の分類
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