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環 (数学)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/23 07:49 UTC 版)

数学における環（かん、英: ring）とは、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系のことである。

^ ^a ^b 乗法に関しては半群となることのみを課す（乗法単位元の存在を要求しない）こともある。#定義に関する注意を参照
^ ^a ^b 二項演算の定義に演算の閉性を含める場合も多く、その場合二項演算であるといった時点で閉性も出るから、特に断らないことも多い。
^ 自明環の意味で「零環」という語を用いることもあるが、零環は一般に「任意の積が 0 に潰れている（擬）環」の意味でも用いるので、ここでは明確化のために自明環を零環と呼ぶのは避けておく。
^ 逆に任意の環は適当なアーベル群の自己準同型環における部分環として実現できる^[8]。これは群論におけるケイリーの定理の環論的類似である。
^ 文献によっては、可換性まで環の公理に含めて、単に環といえば可換環のことを指しているという場合がある。

^ Herstein 1964, §3, p.83
^ ^a ^b ^c ^d The development of Ring Theory
^ Herstein 1975, §2.1, p.27
^ Herstein, I. N. Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), ISBN 0-471-01090-1.
^ Joseph Gallian (2004), Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin, ISBN 9780618514717
^ Neal H. McCoy (1964), The Theory of Rings, The MacMillian Company, p. 161, ISBN 978-1124045559
^ Raymond Louis Wilder (1965), Introduction to Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, p. 176
^ Anderson & Fuller 1992, p. 21.
^ Cohn, Harvey (1980), Advanced Number Theory, New York: Dover Publications, p. 49, ISBN 9780486640235
^ Jacobson (2009), p. 86, footnote 1.
^ Fine, Benjamin (1993), “Classification of finite rings of order $p 2$ ”, Math. Mag. 66: 248-252, doi:10.1080/0025570X.1993.11996133
^ Jacobson 1945
^ Pinter-Lucke 2007
^ Jacobson (2009), p.162, Theorem 3.2.