符号函数

ウィキペディア

符号関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/01 08:12 UTC 版)

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "符号関数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年8月）

実数に対する符号関数 ${\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}$

符号関数（ふごうかんすう、英: sign function, signum function）は、実数に対しその符号に応じて1、−1、0のいずれかを返す関数。

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}1&:\ x>0\\0&:\ x=0\\-1&:\ x<0\end{cases}}}$

およびそれを拡張した複素関数。

記号は sgn x のほかに、sgn(x), Sgn x, sign x なども使われる。記号としての sgn はレオポルト・クロネッカーが導入した^[1]。

英語から「サイン関数」とも呼ぶが、この名は正弦関数 sin と非常に紛らわしい。区別するために sign のラテン語形の signum（シグヌム、英語読みはシグナム）から「シグナム関数」(signum function) と呼ぶことがある。英語以外でもドイツ語などいくつかの言語で signum 系の名前で呼ばれる。

複素数への拡張

実数に対する符号関数は絶対値を用いて

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}{x}/{|x|}&:\ x\neq 0\\0&:\ x=0\end{cases}}}$

と書くこともできる。符号関数の複素数への拡張は、この式を複素数へも適用することで得られる。複素数に対する符号関数は、複素数平面上でベクトルに対し同方向の単位ベクトルを求める操作と同等である（ただし零ベクトル以外のとき）。

なおこのほかに、gnuplotでは、複素数に対し符号関数を

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\operatorname {sgn} \operatorname {Re} x}$

と定義している。またMaple Vでは

${\displaystyle \operatorname {csgn} x={\begin{cases}\operatorname {sgn} \operatorname {Re} x&:\ \operatorname {Re} x\neq 0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} x&:\ \operatorname {Re} x=0\end{cases}}}$

という関数を定義している（${\displaystyle \operatorname {Re} }$ と ${\displaystyle \operatorname {Im} }$ はそれぞれ複素数の実部と虚部）。しかしこれ以降は、これらの定義は使わず、最初の定義の符号関数について述べる。

性質

符号関数は、以下のような性質を持つ（これらは複素数に対し成り立つ）。

極形式との関係:

• ${\displaystyle |\operatorname {sgn} x|={\begin{cases}1&:\ x\neq 0\\0&:\ x=0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \arg \operatorname {sgn} x=\arg x}$ 、ただし ${\displaystyle \arg }$ は偏角
• ${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\exp(i\arg x)\quad (x\neq 0)}$

符号の演算:

• ${\displaystyle \operatorname {sgn} \operatorname {sgn} x=\operatorname {sgn} x}$ （冪等性）
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(-x)=-\operatorname {sgn} x}$（奇関数）
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} {\frac {1}{x}}={\frac {1}{\operatorname {sgn} x}}\quad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} xy=\operatorname {sgn} x\operatorname {sgn} y}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} {\frac {x}{y}}={\frac {\operatorname {sgn} x}{\operatorname {sgn} y}}\quad (y\neq 0)}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x^{y}=(\operatorname {sgn} x)^{y}}$

実数に対しては、加えて次のような性質を持つ。

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\operatorname {\delta } (x)}$ 、ただし ${\displaystyle \operatorname {\delta } }$ はディラックのデルタ関数
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|\quad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2\operatorname {H} _{1/2}(x)-1\,}$ 、ただし ${\displaystyle \operatorname {H_{1/2}} }$ はヘヴィサイドの階段関数
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=[x>0]-[x<0]\,}$ 、ただし ${\displaystyle [\,]}$ はアイヴァーソンのブラケット

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ 黒木哲徳『なっとくする数学記号』講談社〈ブルーバックス〉、2021年、147頁。ISBN 9784065225509。 

ウィキペディア小見出し辞書

符号函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 20:56 UTC 版)

「符号 (数学)」の記事における「符号函数」の解説

詳細は「符号函数」を参照 数の符号を展開するために符号函数を用いる場合もある。この函数は sgn ⁡ ( x ) = { − 1 if  x < 0 , 0 if  x=0 , 1 if  x> 0. のように定義するのがふつうである。すなわち、sgn(x) が 1 となるのは x が正のとき、sgn(x) が −1 となるのは x が負のときである。x の値が非零であるならば、この函数は sgn ⁡ ( x ) = x | x | = | x | x として与えることもできる。ここに |x| は x の絶対値である。