温度グリーン関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/12 10:22 UTC 版)
温度グリーン関数（英: temperature Green's function）または松原グリーン関数とは、次のように定義されるグリーン関数（伝播関数）のことをいう。
- 1 温度グリーン関数とは
- 2 温度グリーン関数の概要
- 3 レーマン表示
- 4 虚時間グリーン関数
温度グリーン関数
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「グリーン関数 (多体理論)」の記事における「温度グリーン関数」の解説
詳細は「温度グリーン関数」を参照 以上は基底状態におけるグリーン関数であり、絶対温度が 0 K である場合のみ使える。有限温度では期待値のとり方を密度行列を使った平均値にすればよい。このグリーン関数は時間だけでなく温度にも依存し、温度グリーン関数（または松原グリーン関数；temperature Green's function） G A . B τ {\displaystyle G_{A.B}^{\tau }} という。温度グリーン関数は1955年に松原武生によって提案されたもので、次のように定義される。 G A . B τ = − ⟨ T r [ A ^ ( τ ) B ^ ( τ ′ ) ] ⟩ {\displaystyle G_{A.B}^{\tau }=-\langle T_{r}[{\hat {A}}(\tau ){\hat {B}}(\tau ')]\rangle } ここで ⟨ ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot \rangle } はグランドカノニカル平均、 A ^ ( τ ) = e H ^ τ / ℏ A ^ e − H ^ τ / ℏ {\displaystyle {\hat {A}}(\tau )=e^{{\hat {H}}\tau /\hbar }{\hat {A}}e^{-{\hat {H}}\tau /\hbar }} はハイゼンベルク表示を虚時間に拡張したものである。 T r {\displaystyle T_{r}} は τ {\displaystyle \tau } と τ ′ {\displaystyle \tau '} の大小関係に応じて時間順序積と同じ並べ替えをする演算子である。 ^A, ^B がそれぞれ場の演算子 ψ(r, t), ψ†(r, t) あるいは生成消滅演算子である場合、1粒子温度グリーン関数と呼ばれる。 G τ ( r τ , r ′ τ ′ ) = − ⟨ T r [ ψ ^ ( r , τ ) ψ ^ † ( r ′ , τ ′ ) ] ⟩ {\displaystyle G^{\tau }({\boldsymbol {r}}\tau ,{\boldsymbol {r}}'\tau ')=-\langle T_{r}[{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},\tau ){\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',\tau ')]\rangle } n粒子温度グリーン関数は次のように定義される。 G τ ( r 1 τ 1 , r 2 τ 2 , … , r 2 n τ 2 n ) = − ⟨ T r [ ψ ( r 1 , τ 1 ) … ψ ( r n , τ n ) ψ † ( r n + 1 , τ n + 1 ) … ψ † ( r 2 n , τ 2 n ) ] ⟩ {\displaystyle G^{\tau }({\boldsymbol {r}}_{1}\tau _{1},{\boldsymbol {r}}_{2}\tau _{2},\dotsc ,{\boldsymbol {r}}_{2n}\tau _{2n})=-\langle T_{r}[\psi ({\boldsymbol {r}}_{1},\tau _{1})\dotsc \psi ({\boldsymbol {r}}_{n},\tau _{n})\psi ^{\dagger }({\boldsymbol {r}}_{n+1},\tau _{n+1})\dotsc \psi ^{\dagger }({\boldsymbol {r}}_{2n},\tau _{2n})]\rangle } 温度グリーン関数は他の実時間グリーン関数と比べて、摂動展開がブロッホ＝ドミニシスの定理（ウィックの定理）によって簡単にでき、場の量子論で開発されたファインマン・ダイアグラムを使うことで視覚的にまとまった形で規則づけることができるという利点がある。
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