汎函数計算とは? わかりやすく解説

汎函数計算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/02/16 13:53 UTC 版)

数学における汎函数計算(はんかんすうけいさん、: functional calculus)は、作用素函数を適用する(函数の引数に作用素をとる)方法を与える理論である。現在のところ、函数解析学(あるいはその周辺の)の分野での理論と見做されており、スペクトル論との関連が深い[* 1]


  1. ^ 歴史的なことを言えば、変分法の同義語として汎函数計算の語が用いられていたのだが、この用法は廃れている。これについては汎函数微分の項へ譲る。また函数方程式の一種または論理学における述語計算の系などに関連して、functional caclulus(函数微積分学または函数計算)の語が用いられることもある


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汎函数計算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/02/09 04:23 UTC 版)

ヒルベルト空間上のコンパクト作用素」の記事における「汎函数計算」の解説

T がある無限次元ヒルベルト空間 H 上のコンパクト作用素であるなら、T は可逆ではなく、したがって T のスペクトル σ(T) には常に 0 が含まれる。するとスペクトル定理により、σ(T) は T の固有値 {λn} と(0 が固有値含まれていない場合には)0 から構成されることが分かるそのような集合 σ(T) は、実直線に含まれるコンパクト部分空間であり、固有値σ(T) において稠密である。 どのようなスペクトル定理も、汎函数計算の観点から再構成することが出来る。ここでは次の定理触れる: 定理 C(σ(T)) を、σ(T) 上の連続関数C*-環とする。このとき、Φ(1) = I および Φ(f) = T を恒等関数 f(f(λ)= λ)に対して満たすような等長準同型写像 Φ: C(σ(T)) → L(H)唯一存在する。さらに、σ(f(T)) = f(σ(T)) が成立する。 汎函数計算写像 Φ は自然な方法定義される:{en} を H の固有ベクトル正規直交基底とし、対応する固有値は {λn} とする。f ∈ C(σ(T)) に対して、汎函数計算写像 Φ(f) は に等しい。Φ の他の性質については簡単に確かめられる逆に、この定理条件を満たすような任意の準同型写像 Ψ は、f が多項式である場合には Φ と一致するワイエルシュトラスの近似定理より、多項式函数は C(σ(T)) において稠密であり、Ψ = Φ が成立する。このことから Φ は一意的であることが分かる。 より一般的な連続汎函数計算(英語版)は、ヒルベルト空間上の任意の自己共役複素数場合には、正規)な有界線型作用素に対して定義される。ここで述べたコンパクトな場合は、汎函数計算の特に簡単なであった

※この「汎函数計算」の解説は、「ヒルベルト空間上のコンパクト作用素」の解説の一部です。
「汎函数計算」を含む「ヒルベルト空間上のコンパクト作用素」の記事については、「ヒルベルト空間上のコンパクト作用素」の概要を参照ください。

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