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寿命分布

概要

アイテムが故障するまでの時間分布のこと. 特に, 寿命時間を連続型確率変数とし, その確率密度関数を $f(t) \,$ $(t \geq 0) \,$ とするとき, 時刻 $t\,$ $( \geq 0) \,$ における寿命分布(累積分布関数) $F(t) \,$ は, $\textstyle F(t) = \int_0^t f(x) {\rm d}x\,$ となる $(F(0) = 0, F(\infty) = 1) \,$ . すなわち, 寿命分布 $F(t) \,$ $(t \geq 0) \,$ は時刻 $t\,$ までに故障する(時刻 $t\,$ で故障している)確率を表す. また, 時刻 $t\,$ $( \geq 0) \,$ における信頼度を $R(t) \,$ とすると $F(t) + R(t) = 1\,$ となる. 代表的なものとしてワイブル分布がある.

詳説

信頼性モデルで用いられている代表的な3つの寿命分布 [1, 2, 3] について述べよう.

(i) 指数分布 (exponential distribution)

$F(t) = 1 - {\rm e}^{-\lambda t} \ \ \ \ \ (t \ge 0,~ \lambda > 0) \,$

$r(t) = \lambda \,$

故障率が一定となるのは指数分布の場合のみである. 故障率が一定であることは故障しやすさが時間的に変化しないということであるから, 無記憶性と同じ意味である. 当然, 偶発故障であることと指数分布は同義である.

(ii) ガンマ分布 (gamma distribution)

$f(t)= \frac{\lambda (\lambda t)^{n-1} {\rm e}^{-\lambda t}}{\Gamma(n)} \ \ \ \ \ (t \geq 0,\ \lambda>0,\ n>0) \,$

ただし, $\Gamma(n)\,$ は次数 $n\,$ のガンマ関数である. 特に, $n\,$ が自然数(正整数)ならば, $\Gamma(n) = (n-1)!\,$ ~となり, 分布関数は

$F(t)=1-\sum_{i=0}^{n-1}{(\lambda t)^i\over i!}{\rm e}^{-\lambda t} \,$

となる. もちろん, $n=1\,$ のときは指数分布である. $n\ge1\,$ ならば, ガンマ分布はIFRとなり, $0<n\le1\,$ ならばDFRとなる.

(iii) ワイブル分布 (Weibull distribution)

$F(t) = 1 - {\rm e}^{-\lambda t^m} \ \ \ \ \ (t\ge0,~ \lambda > 0,~ m > 0) \,$

$r(t) = \lambda m t^{m-1} \,$

$\lambda\,$ は尺度パラメータ, $m\,$ は形状パラメータとよばれる. $m\ge1\,$ ならば, ワイブル分布はIFRとなり, $0<m\le1\,$ ならばDFRとなる. 特に $m=1\,$ のときは指数分布である. ワイブル分布は寿命時間分布としてより用いられる. その理由はパラメータが2つあり, いろいろな故障データに適合することである. 一方

$\log_{\rm e} \log_{\rm e} \frac{1}{R(t)} = m \log_{\rm e} t + \log_{\rm e} \lambda \,$

となるから, 縦軸に $\log_{\rm e} \log_{\rm e}[1/R(t)]\,$ の関数目盛で $F(t)\,$ の値を, 横軸に $\log_{\rm e} t\,$ の関数目盛で $t\,$ の値をとれば, $t\,$ と $F(t)\,$ の関係は直線で示される. 故障データを関数方眼紙にプロットして回帰直線を引けば, パラメータの点推定, 区間推定, 信頼度などを求めることができる. この関数方眼紙はワイブル確率紙(Weibull probability paper)とよばれ, 市販されている. ワイブル確率紙は寿命分布がワイブル分布にしたがうかどうかの判定や, もししたがう場合にはパラメータの推定, 信頼度の推定などを求める簡便法として実用に供されている.

一般に, ほとんどのアイテムはDFRの初期故障期 (幼児期) , CFRの偶発故障期 (青壮年期) を経て, IFRの摩耗故障期 (老人期) になる. 人間の寿命についてもこのような変化をたどる. この故障率の変化は洋式の浴槽に似ているので浴槽曲線(bathtub curve)とよばれる. 保険数理においては $r(t)\,$ は死力(force of motality)とよばれ, 保険, 年金の保険料, 掛金の算出根拠に用いられている.

さて, アイテムの寿命分布を $F(t)\,$ とすれば, その平均はMTTF (mean time to failure)

$MTTF = \int_0^\infty t f(t) {\rm d}t = \int_0^\infty R(t) {\rm d}t \,$

となる. 代表的な寿命分布として前出の指数分布, あるいはガンマ分布, ワイブル分布などが代表的である. 一般的に, ロケットのように故障まで使うシステムは非修理系システムとよばれる. それに対して, アイテムは動作・故障そして修理を繰り返す場合は修理系システムとよばれる. 修理系システムにおいては MTTF は MTBF (mean time between failures) とよぶ.

修理系システムにおいては, アイテムの寿命時間分布 $F(t)\,$ および修理時間 (repair time) 分布 $G(t)\,$ を導入する. $G(t)\,$ の平均は MTTR (mean time to repair) とよばれる. そのとき, 定常アベイラビリティは

$A = \frac{MTBF}{MTBF + MTTR} \,$

となる. 定常アベイラビリティはアイテムが動作している平均時間の割合である. 一方, 瞬時アベイラビリティ $A(t)\,$ は時刻 $t\,$ でアイテムが動作している確率を表し,

$A = \lim_{t \to \infty} A(t) \,$

となることも知られている.

参考文献

[1] R. E. Barlow and F. Proschan, Mathematical Theory of Reliability SIAM, Philadelphia, PA, 1996.

[2] R. E. Barlow and F. Proschan, Statistical Theory of Reliability and Life Testing, To Begin With, c/o Gordon Pledger, 1142 Hornell Drive, Silver Spring, MD 20904, 1981.

[3] 尾崎俊治, 『品質管理・信頼性のための統計分布ハンドブック』, 日本規格協会, 1994.

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