多変数多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/04 16:50 UTC 版)
代数学における適当な単位的可換環 A に係数を持つ多変数多項式（たへんすうたこうしき、英: multivariable polynomial; multivariate polynomial, 仏: polynôme en plusieurs indéterminées, 多元多項式）は、不定元 X に関する一変数多項式環 A[X] を一般化する A-結合多元環の元を言う。有限個の不定元に関する多項式環 A[X1, …, Xn] は n に関して帰納的に構成できる。すなわち、この多項式環は、一つの不定元 Xn の多項式環 A[X1, …, Xn–1] に係数を持つ多項式全体の成す環である。任意の添字集合 I（無限集合でもよい）で添字付けられた任意個数の不定元 Xi (i ∈ I) に関する多項式環 A[(Xi)i∈I] は、I の任意の有限部分集合 J に対する多項式環 A[(Xi)i∈J] を亙る「合併」として定義される。より精確には、I が有限でも無限でも、A[(Xi)i∈I] はモノイド環として定義できる。それはつまり、モニック単項式（つまり有限個の不定元 Xi からなる冪積）全体の成すモノイドを考え、それら単項式の A-係数の形式線型結合として多項式は定義されるということである。
注釈
- ^ (Ferrand 2005) は «une propriété universelle, trop souvent négligée»（あまりに無視されがちな、普遍性）によって多項式環を特徴付けるという第二の視点を主張する前に、教育的な選択肢としてモノイド環による定義を喚起する
- ^ a b (Ferrand 2005) の該当箇所を参照
出典
- ^ Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions], p. 138-156.
- ^ Algèbre commutative par Antoine Chambert-Loir, cours à l'université de Rennes 1 (2006–2007).
- ^ Anneaux de polynômes en plusieurs variables par Patrick Polo, de l'université Pierre-et-Marie-Curie.
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