合成代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 15:36 UTC 版)
数学における体 K 上の合成代数（ごうせいだいすう、composition algebra）は、K 上の（必ずしも結合的でない）単位的多元環 A で、乗法性条件
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合成代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:48 UTC 版)
詳細は「合成代数」を参照 合成代数 (A, ∗, N) は体上の多元環 A, 対合 ∗ および「ノルム」N(x) = xx* からなる。任意の体 K に対して、K と自明なノルム（つまり N(x) = x2）から始まる合成代数の系列が生じてくる。この系列は、多元環の直和 A ⊕ A を作って新たな対合 (x, y)* = x* − y を入れるという帰納的な手続きによって得られる。 レオナード・E・ディクソンが四元数を二重化して八元数を得るためにこの構成を発明しており、直和 A ⊕ A を利用するこの二重化法はケイリー–ディクソン構成と呼ばれる。実例として、K = ℝ（実数体）から始めれば、系列として複素数、四元数、八元数、十六元数が生成される。また K = ℂ（複素数体）と自明なノルム N(z) = z2 から始めれば、以下双複素数、双四元数（英語版）、双八元数と続く。 マックス・ツォルンは、古典的なケイリー–ディクソン構成では先の (ℂ, z2) の系列に属する代数の部分多元環として生じるいくつかの合成代数（特に分解型八元数）を取りこぼしてしまうことに気が付いた。そのために修正されたケイリー–ディクソン構成（これもまたもとの多元環 A から直和 A ⊕ A を作る方法に基づく）は、実数、分解型複素数、分解型四元数（英語版）、分解型八元数の系列を作るのに利用される。
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合成代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 15:17 UTC 版)
ノルム多元体は合成代数の特別の場合である。合成代数とは、乗法的二次形式を備えた単位的多元環である。一般の合成代数は必ずしも可除ではなく、零因子を持ち得る。実数体上であれば、ノルム多元体を成すもの以外に三種類、分解型複素数環、分解型四元数環、分解型八元数環が加わる。
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