円の面積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/11 23:23 UTC 版)
円の面積（えんのめんせき）は、円周率を 、円の半径を としたとき、
注釈
- ^ 同様の計算は問題41の円筒の体積を求める際にも行われている。
- ^ 著者であるアーメスは の例を計算している。この場合、結果は整数となる。
- ^ 実際には、円周を 、直径を とすると、 であることを示した[7]。
- ^ この方法は、二重帰謬法[9]、二重背理法[10]とも呼ばれる。
- ^ 実際には半径1尺の円を用いており、1尺=10寸であるが単位は略した。
- ^ 小学校学習指導要領において具体的な教示法は示されていないものの、その解説において「円の変形による式の導出」として、円をいくつかの扇形に分割し長方形に近似させる方法が掲げられている[25]
- ^ これは例えば『岩波講座 現代数学への入門』[30]、『理工系の微積分入門』[31]による方法を四分円に適用したもの。
- ^ 『数学公式II』[32]では、の極限値としてが示されている。 である。
出典
- ^ a b c 数学小辞典 第2版増補 2017, p. 55.
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- ^ 文部科学省 (2018年). “高等学校学習指導要領（平成30年告示）”. 文部科学省. 2021年11月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年3月13日閲覧。
- ^ 山川, 宏史「円の面積 S = πr2 の循環論法の解消について」（pdf）『数研通信』第58巻、2007年、9–11。
- ^ 関口晃司『円の面積をめぐる循環論法からの脱却のために』（PDF）高知工科大学、2014年。 オリジナルの2021年7月11日時点におけるアーカイブ。2022年3月13日閲覧。
円の面積
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「インディアナ州円周率法案」の記事における「円の面積」の解説
グッドウィンの本来の目標は、円周の長さを測定することではなく、円を四角にすることだった。彼はそれを文字通りに円と同じ面積を持つ正方形を見つけることだと解釈した。彼は、アルキメデスの円の面積の公式（直径に円周の 1/4 を掛けること）が円を四角にする古代の問題の解決策にならないことを知っていた。これは、その問題がコンパスと定規だけを使用してその面積を作図することであって、アルキメデスは円周と同じ長さの直線を作図する方法を与えなかったからなのであるが、グッドウィンはこの重要な必要事項に明らかに気付いていなかった。つまり彼は、アルキメデスの公式に関する問題とはそれが間違った結果を与えることであって円積問題はそれを「正しい」公式に置き換えれば解けるものと信じていたのである。 問題の法案では、彼は議論なしに独自の方法を提案した。 「ある等辺長方形（原文：equilateral rectangle）の面積は、一辺の平方であるから、円の面積は、その四分円の弧と等しい長さの一辺を持つ正方形の面積に等しいことがわかった。」 「等辺長方形」が正方形以外の何かであることはありえないので、これは無意味な言辞に見える。恐らくグッドウィンは、「正方形」の意味のsquareと、「平方」の意味のsquareを区別したかったのだと思われる。 しかしながら、法案の残りの部分では、単に円の面積は同じ長さの外周を持つ正方形の面積と同じであるという主張であることが明らかになる。例えば、上記の引用の直後に、法案は次のように述べている。 「円の面積の計算で用いられる現在の法則において、直径を線形の単位として用いるのは完全に間違っている。円の面積を、その外周が円周の1と5分の1倍に等しい正方形の面積で代表しているためである。」 上記のモデル円では、（グッドウィンの円周と直径の値を正しいとすると）アルキメデスの公式による面積は 80 になる。しかし、グッドウィンが提案した法則によれば、面積は 64 になる。さらに、80 は 80 の 1/5 だけ 64 を上回っている。 そして、グッドウィンは、80 = 64 × (1 + 1/5) と、64 = 80 × (1 − 1/5) を混同しているように見える。この近似は 1/5 よりずっと小さい値でのみ正しい。 グッドウィンの法則によって計算される面積は、真の円の面積の π/4 倍である。このため、円周率法案に関する多くの記事で円周率を 4 と主張したものと解釈されている。しかしながら、グッドウィンがそのような要求をするつもりだった証拠は法案の中には無い。むしろ逆に彼は、円の面積がその直径と何らかの関連を持っていることを繰り返し否定している。 面積の相対誤差 1 − π/4 は、約21パーセントになる。これは前の節で述べたモデル円の長さの近似よりさらに深刻である。グッドウィンがなぜ彼の法則が正しいと信じたのかは分からない。一般的に、外周の長さが等しい図形は面積も等しいわけではない。高さと幅が同じくらいの図形と、長くて薄い図形を比較すれば分かりやすい。恐らくグッドウィンは、（円や正方形のように）高さと幅が等しい限りは、円周が等しければ面積も等しくなると誤って結論付けたのであろうといわれている。
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