偏相関係数とは?

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偏相関係数


例題
 「表 1 に示すデータにおいて,変数 Z の影響取り除いたときの,変数 X と変数 Y の間の偏相関係数を求めなさい。」
表 1.三変数データ
X Y Z
 61.0  52.0  58.0
57.3 44.2 45.7
55.5 63.3 62.6
40.8 29.5 28.0
27.9 46.8 52.5
57.0 50.6 67.1
57.5 41.6 49.1
47.7 67.8 51.6
57.1 43.1 54.4
56.6 47.8 44.9
43.7 46.4 39.0
61.7 60.0 62.1
32.0 45.7 45.0
44.4 49.3 38.3
50.1 65.3 50.9



説明
 2変数相関関係調べるとき,それぞれの変数が第3の変数相関持っていることにより,観察された相関真の相関関係を表さないことがある
 そこで,対象としている2変数以外の変数影響取り除いた相関係数求めることが必要になることがある
 p 個の変数があるとき,q 個の変数固定した(影響取り除いた)p-q 個の変数間の偏相関係数は「 q 次のオーダーの偏相関係数 」と呼ばれる
 2 変数 i,j 間の相関係数を r(ij) とし,固定される変数k1k2, …, kq の q 個としたとき,2 変数 i,j 間の q 次のオーダーの偏相関係数は(1)式,(2)式の漸化式計算できる。
偏相関係数  ……(1)
偏相関係数  ……(2)
(2)式では,偏相関係数 などと略記した。
 2 変数 i,j 以外の全ての変数固定したときの偏相関係数は,相関係数行列 r の逆行列要素を rij としたとき,(3)式で求めることができる。
偏相関係数  ……(3)

 3 変数場合に,1 変数固定した 2 変数間の偏相関係数を求めるとき,(1)式は複雑であるので(4)式の方がわかりやすいかもしれない。
偏相関係数  ……(4)


計算手順:
  1. 2 変数間の相関係数表 2 のようになる。引き続く計算誤差少なくするために,相関係数小数点以下の桁数多め計算する。
    表 2相関係数行列
        X Y Z
     X  1.00000

     Y  0.25058 1.00000
     Z  0.49484 0.59803 1.00000
  2. (4)式を用いて偏相関係数を求める。
    ( 0.25058 - 0.49484 × 0.59803) / { √( 1 - 0.494842 ) × √( 1 - 0.598032 ) } ≒ -0.06511
    (注:コンピュータ用いて計算したときは,小数点以下5までの答えは -0.06512 である)。





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