下降階乗冪とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

階乗冪

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/10 03:23 UTC 版)

数学、とくに離散数学の各分野における階乗冪（かいじょうべき、英: factorial power^[1]) は、冪乗によく似た演算だが、階乗のように因子が 1 ずつずれていく。階乗冪には下降階乗冪 (falling factorial) ^{[* 1]}と上昇階乗冪 (rising factorial) ^{[* 2]}とがある。また、両方向へずらしながら積をとる類似の概念に、中心階乗冪 (central factorial) がある^[2]。

脚注

注釈

^ 降冪、下方階乗冪とも。
^ 昇冪、上方階乗冪とも。
^ 特に $(x) n$ のことを言い、上昇階乗冪を表す記号とする文献もあるので注意（この場合、下降階乗冪は $(x - n + 1) n$ と書ける）。また、ポッホハマー自身はこれを二項係数を表すため用いた。詳細はポッホハマー記号の項目を参照。
^ このような記法では
$\textstyle (x)_{n}^{\pm }=\prod _{k=1}^{n}(x\pm (k-1))$
のような略記も可能である。
^ 右辺は反射公式による。
^ x = 0 の場合、階乗冪は当然 0 であるがガンマ関数による表記は x = 0 の場合もカバーしている。また、x < n のときの自然数 x に対する下降階乗冪、および −x < n のときの負の整数 x に対する上昇階乗冪も 0 になるが、それもカバーしている。
^ ガンマ関数は 0 および負の整数で極を持つため、中辺の式では定義できない。
^ が、和分差分学における指数函数に相当する概念とは異なる。(結城浩『離散系バージョンの関数探し』)
^ ただし、非整数 $α$ に対して
$\textstyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}dx$
の意味で用いている
^ 羅: umbra は「日影」の意