ヤコビの二平方定理
ヤコビの二平方定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/07 19:14 UTC 版)
「二個の平方数の和」の記事における「ヤコビの二平方定理」の解説
自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数は、ヤコビの二平方定理 r 2 ( n ) = 4 ∑ 2 ∤ d ∣ n ( − 1 ) d − 1 2 {\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }n}(-1)^{\frac {d-1}{2}}} によって与えられる。ただし、シグマ記号は2で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。例えば、 r 2 ( 25 ) = 4 ( ( − 1 ) 1 − 1 2 + ( − 1 ) 5 − 1 2 + ( − 1 ) 25 − 1 2 ) = 12 {\displaystyle r_{2}(25)=4\left((-1)^{\frac {1-1}{2}}+(-1)^{\frac {5-1}{2}}+(-1)^{\frac {25-1}{2}}\right)=12} であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は 25 = ( ± 5 ) 2 + 0 2 = 0 2 + ( ± 5 ) 2 = ( ± 4 ) 2 + ( ± 3 ) 2 = ( ± 3 ) 2 + ( ± 4 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}25&=(\pm 5)^{2}+0^{2}\\&=0^{2}+(\pm 5)^{2}\\&=(\pm 4)^{2}+(\pm 3)^{2}\\&=(\pm 3)^{2}+(\pm 4)^{2}\\\end{aligned}}} であり、符号と順序を区別すれば12個になる。
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