ナビエストークス方程式
粘性を考慮した流体の運動方程式。このNavier-Stokes(NS方程式とも呼ばれる＝運動量保存式)のほかに、連続の式(質量保存則)やエネルギー保存則などを連立させて解くことで、流体の運動を解析できる。非圧縮流れ、非粘性流れ、定常流れなど、解析したい物理現象によって式を省略したり簡略化したりする。
ナビエ-ストークス方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/27 00:42 UTC 版)
ナビエ-ストークス方程式（ナビエ-ストークスほうていしき、英: Navier-Stokes equations）は流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた[1][2]。NS方程式とも略される。ニュートン力学における運動の第2法則に相当し、運動量の流れの保存則を表す。
- ^ 単純化された方程式を上手く選べば、数値計算の負荷を小さくできるため、依然これらの近似方程式は重要である（Ferziger, Perić, 2003）。
- ^ C. L. M. H. Navier, "Mémoire sur les lois du mouvement des fluides," Mémoires Acad. Roy. Sci. Inst. France, 6, pp.389-440 (1823)
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- ^ Joel H. Ferziger; Milovan Perić; 小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠訳 『コンピュータによる流体力学』 シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、12-15頁。ISBN 4-431-70842-1。
- 1 ナビエ-ストークス方程式とは
- 2 ナビエ-ストークス方程式の概要
- 3 非線型性（乱流）
ナビエ–ストークス方程式
(ナビエストークス方程式 から転送)
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ナビエ–ストークス方程式（ナビエ–ストークスほうていしき、英: Navier–Stokes equations）は、流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。[1][2]アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた[3][4]。日本語の文献だとNS方程式とも略される。[5]ニュートン力学における運動の第2法則に相当し、運動量の流れの保存則を表す。
- ^ 単純化された方程式を上手く選べば、数値計算の負荷を小さくできるため、依然これらの近似方程式は重要である（Ferziger, Perić, 2003）。
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- 1 ナビエ–ストークス方程式とは
- 2 ナビエ–ストークス方程式の概要
- 3 導出
- 4 単純化した方程式
- 5 一般解
- 6 数値シミュレーション
- 7 関連項目
ナビエ-ストークス方程式
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「レイノルズ数」の記事における「ナビエ-ストークス方程式」の解説
レイノルズ数はナビエ-ストークス方程式（非圧縮性で外力なし）を無次元形に変形することで、方程式を支配する唯一のパラメータとして得ることができる。 ρ ( ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v ) = − ∇ p + μ ∇ 2 v {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } 上式中の各項は、体積力（単位体積当たりの力、N/m3）、もしくは同等な表現として、加速度と密度の積（m/s2kg/m3）の単位を持っている。 物理的サイズに直接的によらない形の式を得るため、方程式を無次元化する。 無次元式を得るひとつの方法として次の係数を式全体に掛ける方法がある： D ρ V 2 {\displaystyle {\frac {D}{\rho V^{2}}}} V {\displaystyle V\,} - 平均速度 または 流体との相対速度（m/s） D {\displaystyle D\,} - 特性長さ（m） ρ {\displaystyle \rho \,} - 流体密度（kg/m3） ここで次のように各物理量を無次元化する： v ′ = v V , p ′ = p ρ V 2 , ∂ ∂ t ′ = D V ∂ ∂ t , ∇ ′ = D ∇ {\displaystyle \mathbf {v'} ={\frac {\mathbf {v} }{V}},\quad p'={\frac {p}{\rho V^{2}}},\quad {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {D}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \nabla '=D\nabla } するとナビエ-ストークス方程式を次の無次元化された方程式に書き直すことができる。 ∂ v ′ ∂ t ′ + v ′ ⋅ ∇ ′ v ′ = − ∇ ′ p ′ + μ ρ D V ∇ ′ 2 v ′ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho DV}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} } この式にはパラメータが右辺第2項にしか現れていない。このパラメータを次のように書き換え、レイノルズ数と定義する： R e = ρ D V μ {\displaystyle Re={\frac {\rho DV}{\mu }}} 最終的に式を読みやすくするためにプライム記号を省略して書き直すと次のようになる。 ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = − ∇ p + 1 R e ∇ 2 v {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p+{\frac {1}{Re}}\nabla ^{2}\mathbf {v} } この式はパラメータとしてレイノルズ数Re しか持たない。したがって同じレイノルズ数を持ち、かつ境界条件も相似形である流れは数学的に全て同等である。 上記の式でRe → ∞のとき、粘性項が消える。したがって、高レイノルズ数流れはおよそ非粘性の自由流れと同じとなる。
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