テトレーションとは? わかりやすく解説

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テトレーション

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/06/17 23:29 UTC 版)

テトレーション: tetration)とは、冪乗の次となる4番目のハイパー演算である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する二項演算である。超冪(ちょうべき)ともいう。テトレーションという語はルーベン・グッドスタイン英語版によって、「4」を意味する接頭辞 tetra- と「繰り返し」を意味する iteration から作り出された[1]


注記

  1. ^ ここでは『iのi乗』と呼ばれている。

出典

  1. ^ a b Goodstein, R. L. (1947). “Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory”. The Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123–129. doi:10.2307/2266486. ISSN 0022-4812. https://www.jstor.org/stable/2266486. 
  2. ^ Maurer, Hans (1901). “Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)”. Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4: 33–50. 
  3. ^ Knoebel, R. Arthur (1981). “Exponentials Reiterated”. The American Mathematical Monthly 88 (4): 235–252. doi:10.2307/2320546. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2320546. 
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  9. ^ Power Verb”. J Vocabulary. J Software. 2011年10月28日閲覧。
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  11. ^ I. N. Galidakis, (2004). “On an Application of Lambert’s W Function to Infinite Exponentials”. Complex Variables Th. Appl. 49: 759–780. doi:10.1080/02781070412331298796. ISSN 0278-1077. http://www.math.usm.edu/lee/InfiniteExponentials.pdf. 
  12. ^ Euler, L., "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
  13. ^ M. H. Hooshmand, (2006). “Ultra power and ultra exponential functions”. Integral Transforms and Special Functions英語版 17 (8): 549–558. doi:10.1080/10652460500422247. 
  14. ^ Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm
  15. ^ W. Paulsen and S. Cowgill (March 2017). “Solving in the complex plane”. Advances in Computational Mathematics: 1-22. doi:10.1007/s10444-017-9524-1. http://link.springer.com/article/10.1007/s10444-017-9524-1. 
  16. ^ テトレーションおよびその導関数を計算・描画するMathematicaコード
  17. ^ Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.
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  19. ^ BOSTON UNIVERSITY COLLEGE OF ENGINEERING – EFFICIENT SELF-ORGANIZATION OF LARGE WIRELESS SENSOR NETWORKS


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テトレーション

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/09 09:27 UTC 版)

クヌースの矢印表記」の記事における「テトレーション」の解説

ここでクヌースは、二重矢印をテトレーション(指数計算反復)を表す演算子として定義した。 a ↑↑ b = a ↑ a ↑ ⋯ ↑ a ⏟ b  copies of  a = a a . . . a ⏟ b  copies of  a {\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{b{\text{ copies of }}a}=\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} _{b{\text{ copies of }}a}} これを用いると、 2 ↑↑ 2 = 2 2 = 4 2 ↑↑ 3 = 2 2 2 = 2 4 = 16 2 ↑↑ 4 = 2 2 2 2 = 2 2 4 = 2 16 = 65536 2 ↑↑ 5 = 2 2 2 2 2 = 2 2 16 = 2 65536 ≈ 2.003 × 10 19728 {\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow 2&=2^{2}=4\,\\2\uparrow \uparrow 3&=2^{2^{2}}=2^{4}=16\,\\2\uparrow \uparrow 4&=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536\,\\2\uparrow \uparrow 5&=2^{2^{2^{2^{2}}}}=2^{2^{16}}=2^{65536}\approx 2.003\times 10^{19728}\end{aligned}}} 3 ↑↑ 2 = 3 3 = 27 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27} 3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7625597484987 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987} 3 ↑↑ 4 = 3 3 3 3 = 3 3 27 = 3 7625597484987 ≈ 1.258 × 10 3638334640024 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.258\times 10^{3638334640024}} 10 ↑↑ 3 = 10 10 10 = 10 10000000000 {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 3=10^{10^{10}}=10^{10000000000}} (10100億乗) 10 ↑↑ 4 = 10 10 10 10 = 10 10 10000000000 {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 4=10^{10^{10^{10}}}=10^{10^{10000000000}}} などと書ける。

※この「テトレーション」の解説は、「クヌースの矢印表記」の解説の一部です。
「テトレーション」を含む「クヌースの矢印表記」の記事については、「クヌースの矢印表記」の概要を参照ください。

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