シンプレクティック同相写像とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

シンプレクティック同相写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/13 15:53 UTC 版)

数学では、シンプレクティック同相(symplectomorphism)（あるいは、シンプレクティック写像(symplectic map)とも言う）は、シンプレクティック多様体のカテゴリでの同型のことを言う。古典力学では、シンプレクティック同相は、体積保存する写像で、相空間のシンプレクティック構造を保存する相空間の間の写像変換である。古典力学では正準変換と呼ばれる。

^ アーノルド・ギベンタール予想は、ラグラジアン部分多様体 L についての予想で、L が横断的(transversally)に交わるハミルトニアン等長ラグラジアン部分多様体の交叉数の数の下界を、L のベッチ数で与える予想である。 t ∈ [0, 1] に対して、H_t ∈ C^∞(M) を M 上のハミルトン函数の滑らかな族として、φ_H により H_t のハミルトンベクトル場 X_{H_t} のフローのある時刻の写像を表しているとする。L と φ_H(L) が横断的に交叉すると仮定すると、 L と φ_H(L) の交叉する点の個数は、L の Z₂ ベッチ数の和により、下界を見積もることができる。すなわち、
$\sharp (L\cap \phi _{H}(L))\geq \sum _{k=0}^{n}b_{k}(L;\mathbb {Z} _{2})$
現在までに、アーノルド・ギベンタール予想は、何らかの前提を付け加えた後に、証明することができている。