クラスカル・ウォリス検定とは?

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クラスカル・ウォリス検定


例題
 「12 匹のラット3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量平均値に差があるといえいるか,有意水準 5% で検定しなさい。」
表 1.餌の種類による肝臓の重量
A餌 3.42 3.84 3.96 3.76
B餌 3.17 3.63 3.47 3.44 3.39
C餌 3.64 3.72 3.91



R による解析:
> x <- c(3.42, 3.84, 3.96, 3.76, 3.17, 3.63, 3.47, 3.44, 3.39, 3.64, 3.72, 3.91)
> g <- c(1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3)

> kruskal.test(x,g)

	Kruskal-Wallis rank sum test

data:  x and g 
Kruskal-Wallis chi-squared = 5.5487, df = 2, p-value = 0.06239



クラスカル・ウォリス検定


例題
 「4 つの群についてある測定をおこなったところ,表 3 のような結果が得られた。代表値に差があるか有意水準 5% で検定しなさい。また,多重比較行いなさい。」
表 3測定値
群 1 13 10 12 19
群 2 21 26 15 14 21
群 3 27 28 21
群 4 13 16 19 10 12 19



R による解析:
> dat <- matrix(c(
 	13, 1, 10, 1, 12, 1, 19, 1,
 	21, 2, 26, 2, 15, 2, 14, 2, 21, 2,
 	27, 3, 28, 3, 21, 3,
 	13, 4, 16, 4, 19, 4, 10, 4, 12, 4, 19, 4
 	), ncol=2, byrow=T)

前もって用意されている関数を使う場合

> kruskal.test(dat[,1], dat[,2])

	Kruskal-Wallis rank sum test

data:  dat[, 1] and dat[, 2] 
Kruskal-Wallis chi-squared = 9.7471, df = 3, p-value = 0.02084

新たに定義した関数多重比較も行う)を使う場合

> kruskal.wallis(dat, 1, 2)
$Result
Statistics(Chi-sq. value)         d.f.      P value 
               9.74705115   3.00000000   0.02084332 

$Statistics
          Group 1  Group 2  Group 3   Group 4
Group 1 0.0000000 3.255721 7.306100 0.2024443
Group 2 3.2557208 0.000000 1.367571 2.3082068
Group 3 7.3061003 1.367571 0.000000 6.2941603
Group 4 0.2024443 2.308207 6.294160 0.0000000

$P.value
           Group 1   Group 2    Group 3    Group 4
Group 1 1.00000000 0.3538532 0.06275556 0.97719374
Group 2 0.35385318 1.0000000 0.71315348 0.51095052
Group 3 0.06275556 0.7131535 1.00000000 0.09814354
Group 4 0.97719374 0.5109505 0.09814354 1.00000000



クラスカル・ウォリス検定


例題
 「12 匹のラット3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量平均値に差があるといえいるか,有意水準 5% で検定しなさい。また,多重比較行いなさい。」
表 1.餌の種類による肝臓の重量
A餌 3.42 3.84 3.96 3.76
B餌 3.17 3.63 3.47 3.44 3.39
C餌 3.64 3.72 3.91



R による解析:
> dat <- matrix(c(
+ 	3.42, 1,
+ 	3.84, 1,
+ 	3.96, 1,
+ 	3.76, 1,
+ 	3.17, 2,
+ 	3.63, 2,
+ 	3.47, 2,
+ 	3.44, 2,
+ 	3.39, 2,
+ 	3.64, 3,
+ 	3.72, 3,
+ 	3.91, 3
+ 	), byrow=T, ncol=2)

> kruskal.wallis(dat, 1, 2)	# この関数の定義を見る
 [1]  3 10 12  9  1  6  5  4  2  7  8 11
 1  2  3 
34 18 26 
$Result
Statistics(Chi-sq. value)                      d.f.                   P value 
               5.54871795                2.00000000                0.06238946 

$Statistics
            Group 1  Group 2     Group 3
Group 1 0.000000000 4.104274 0.003663004
Group 2 4.104273504 0.000000 3.702564103
Group 3 0.003663004 3.702564 0.000000000

$P.value
          Group 1   Group 2   Group 3
Group 1 1.0000000 0.1284601 0.9981702
Group 2 0.1284601 1.0000000 0.1570357
Group 3 0.9981702 0.1570357 1.0000000



クラスカル・ウォリス検定


例題
 「12 匹のラット3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量平均値に差があるといえいるか,有意水準 5% で検定しなさい。」
表 1.餌の種類による肝臓の重量
A餌 3.42 3.84 3.96 3.76
B餌 3.17 3.63 3.47 3.44 3.39
C餌 3.64 3.72 3.91



検定手順:
  1. 前提
  2. k 群の標本において,各群のケース数を njj = 1, 2, ... , k),n = Σ nj とする。
  3. n 個の観測値全てこみにして小さい方から順位をつける(同順位がある場合には平均順位をつける)。
    例題では次の表のようになる。
    表 2.餌の種類による肝臓の重量順位
    A餌 3 10 12 9
    B餌 1 6 5 4 2
    C餌 7 8 11

  4. 第 j 群の第 i ケース順位を rij とし,第 j 群の順位の和を Rj = Σ rij とする(Σ Rj = n ( n + 1 ) / 2)。
    例題では,R1 = 34R2 = 18R3 = 26 である。
  5. 次式で検定統計量 Sx計算する。
    クラスカル・ウォリス検定
    注:同順位が多い場合には,検定統計量 Sx修正が必要である。
    m 種類同順位があったとき,それぞれの同順位個数tjj = 1, 2, ... , m )とする。例えば,順位が 5 となるものが 4 個,順位11 となるものが 5 個あった場合には,m = 2t1 = 4t2 = 5。
    クラスカル・ウォリス検定
    クラスカル・ウォリス検定
    例題では,Sx = { 12 ( 342/4 + 182/5 + 262/3)}/ {12 ( 12 + 1 ) } - 3 ( 12 + 1 ) = 5.54872 となる(同順位はないので補正は必要ない。)。
  6. S0(または Sx) は,自由度k - 1 の χ2 分布に従う。
    例題では,Sx は,自由度 2 の χ2 分布に従う。
  7. 有意確率P = Pr{χ2S0} とする。
    χ2分布表,または χ2 分布の上確率計算参照すること。
    例題では,自由度 2 の χ2 分布において,Pr{χ2 ≧ 5.99}= 0.05 であるからP = Pr{χ2 ≧ 5.54872}> 0.05 である(正確な有意確率P = 0.06239)。
  8. 帰無仮説採否決める。

    注:群の数が 3 または 4 で全ケース数が少な場合には,統計数値表(k = 3 のとき,k = 4 のとき)を参照すれば正確な検定結果が得られる。
    S0 が,表から得られる棄却限界値より大きいときに帰無仮説棄却する。
    例題では,有意水準 5% で検定を行うとすれば(α = 0.05),P > α であるから帰無仮説採択する。すなわち,「母代表値に差があるとはいえない」。
    統計数値表からは,棄却限界値 5.6564 が得られるので,Sx = 5.54872 < 5.6564 ゆえ,同じ結果となる。



対比の手順:
 全体代表値の差の検定有意なときにはシェッフェ方法による対比較を行える。
  1. 順位平均値クラスカル・ウォリス検定 である。
    例題場合,( 12 + 1 ) / 2 = 6.5 である。
  2. 各群の順位平均クラスカル・ウォリス検定 とする。
    例題場合それぞれ,8.5,3.6,8.666667 である。
  3. 各群の順位分散
    クラスカル・ウォリス検定
    とする。
    例題場合,{ ( 3 - 6.5 )2 + ( 10 - 6.5 )2 + … + ( 11 - 6.5 )2 } / ( 12 - 1 ) = 13
  4. i 群と j 群の対比較のための検定統計量 Sij を次式で計算する。
    クラスカル・ウォリス検定
    例題において,1 群と 2 群の比較は,S12 = ( 8.5 - 3.6 )2 / { ( 1 / 4 + 1 / 5 )・13 } = 4.104274
  5. Sij は,自由度k - 1 の χ2 分布に従う。
    例題では,自由度3 - 1 = 2
  6. 有意確率Pij = Pr{χ2 ≧ Sij} とする。
    例題において,1 群と 2 群の比較では,P12 = Pr{χ2 ≧ 4.104274 }= 0.128460
  7. 帰無仮説採否決める。

    例題場合P12 > α ゆえ,帰無仮説採択される。「1 群と 2 群の母代表値に差があるとはいえない」。

 全ての群の組合せについて対比較を行ったときでも,検定全体危険率が α 以下であることが保証される。






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