アフィン多様体
(アファイン多様体 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/06 20:24 UTC 版)
代数幾何学において，代数閉体 k 上のアフィン多様体（あふぃんたようたい，英: affine variety）とは，n 次元アフィン空間 kn において，k 係数の n 変数の多項式の素イデアルを生成する有限族の零点集合である．素イデアルを生成するという条件を外したときの集合は（アフィン）代数的集合と呼ばれる．アフィン多様体のザリスキ開部分多様体は準アフィン多様体と呼ばれる．
- 1 アフィン多様体とは
- 2 アフィン多様体の概要
- 3 導入
- 4 構造層
- 5 関連項目
アファイン多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/02 14:58 UTC 版)
まずアファイン空間 A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} に位相を定義する。 A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} は集合としては単に k 上の n 次元ベクトル空間である。位相は（開集合系でなく）閉集合系によって定める。閉集合系は、 A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} のすべての代数的集合と定める。つまり、閉集合は V ( S ) = { x ∈ A n ∣ f ( x ) = 0 , ∀ f ∈ S } {\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\;\forall f\in S\}} の形の集合である。ただし S は k 上の n 変数多項式からなる任意の集合である。以下の性質は直ちに確かめられる。 V(S) = V((S)), ただし (S) は S の元全体によって生成されたイデアル。 多項式の任意の2つのイデアル I, J に対し、 V ( I ) ∪ V ( J ) = V ( I J ) ; {\displaystyle V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);} V ( I ) ∩ V ( J ) = V ( I + J ) . {\displaystyle V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).} これらの性質より、V(S) の形の集合の有限和や任意交叉もこの形の集合であるから、この形の集合の全体を閉集合系とすることにより位相が定まる。これが A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} 上のザリスキ位相である。 X がアファイン代数的集合であれば（既約であってもなくても、その上のザリスキ位相は単純に、ある A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} への包含から誘導される相対位相と定義される。あるいは同じことだが、以下のことを証明できる。 アファイン座標環 A ( X ) = k [ x 1 , … , x n ] / I ( X ) {\displaystyle A(X)\,=\,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)} の元は（ k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]} の元が A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} 上の関数として振る舞うのとちょうど同じように）X 上の関数として振る舞う。 多項式からなる任意の集合 S に対し、T をその A(X) における像全体からなる集合とすると、X の部分集合 V ′ ( T ) = { x ∈ X ∣ f ( x ) = 0 , ∀ f ∈ T } {\displaystyle V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\;\forall f\in T\}} は V(S) の X との共通部分に等しい。（これらの記法は標準的というわけではない。） これによって、上の式（明らかに以前の式の一般化である）は任意のアファイン多様体上のザリスキ位相を定義している。
※この「アファイン多様体」の解説は、「ザリスキー位相」の解説の一部です。
「アファイン多様体」を含む「ザリスキー位相」の記事については、「ザリスキー位相」の概要を参照ください。
- アファイン多様体のページへのリンク
