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CAPM

読み方：きゃっぷえむ
【英】：CAPM (capital asset pricing model

概要

市場の参加者である投資家が自己のポートフォリオ収益の平均と分散に基づいて投資活動を行なったとき, 個々の金融資産の平均のリターンとベータ値と呼ばれるリスク尺度とはどのように関係しているかを説明する理論モデルとして資本資産評価モデルCAPMがある.このモデルによれば, すべての金融資産の超過収益率は, ベータ値を係数とする市場ポートフォリオの超過収益率の線形関数で表現される.

詳説

CAPMは資本資産評価モデルとよばれ,資本市場の均衡下において危険資産のリスクプレミアムがどのように決定されるかを説明するモデルである.このモデルはSharpe(1964),Linmer(1965),Mossin(1966)によって提案された.いずれのモデルも危険資産の投資収益を基準に議論を行うが,Sharpe-Lintner 型 CAPMはで投資比率によってポートフォリオを定義し,リスクリターン平面上の無差別曲線を使って最適ポートフォリオを考察するのに対し,Mossin 型 CAPMでは証券の保有枚数によってポートフォリオを定義し,投資家の効用関数から直接的に最適ポートフォリオを導出する点が異なる.本項目ではSharpe-Lintner 型 CAPMを中心に説明を行う.

■ 市場均衡

CAPMは投資家の行動原理としてMarkoWitz(1952)のポートフォリオ選択(平均・分散モデル)を利用している.したがって,CAPMではポートフォリオ選択の以下の仮定を引き継ぐことになる.

① 1期間だけの投資を考える.

② 投資家は投資収益率の平均および分散のみを考え,期待効用を最大化する.

③ すべての資産は無限に分割可能である.

④ 投資家はプライステーカーとして行動する.

⑤ 市場に摩擦はない.(取引コストや税金は存在しない.)

さらにCAPMでは次の2つの仮定を加える.

⑥ 投資収益の同時分布についての予想は,すべての投資家で一致している.

⑦ 安全資産が1つ存在し,無制限に貸借可能である.

この仮定⑥は投資家の同質的期待とよばれ,すべての投資家はリスクリターン平面上で同じ投資機会集合と同じ効率的フロンティアをみていることを保証する.

さて,安全資産が存在するときには効率的フロンティアの外にまで投資機会集合は拡れ,図1が示すリスクリターン平面上ではグレーの領域になる.この投資機会集合の左上に位置する境界は投資家にとって最も効率的な投資が行えるポートフォリオの集合であり,これを資本市場線(Capital Market Line; CML)とよぶ.

このCMLは安全資産 $r\,$ とそこから効率的フロンティアに引いた接点 $M\,$ との組み合わせでつくられることから,次式が与えられる.

$\mu_P = r + \frac{\mu_M - r}{\sigma_M} \sigma_P \ \ \ (1)\,$

ただし、 $\mu_P\,$ はCML上にあるポートフォリオの期待リターン, $\sigma_P\,$ はそのリスクである.

合理的な投資家はCML 上のポートフォリオを保有する.すなわち、接点ポートフォリオ $M\,$ と安全資産の2資産のみを保有することになる.これを2資産分離とよぶ.投資家による選好の違いはこの2資産への配分比率にのみ現れる.このように,投資家の効用とは独立に危険資産ポートフォリオ $M\,$ が決定されることをポートフォリオ選択における分離定理とよぶ.

さて,市場ポートフォリオと個別資産の関係を見てみよう.資産 $i\,$ と市場ポートフォリオ $M\,$ とで新たにつくられる超過ポートフォリオの奇跡を描くと図2のようになる.

超過ポートフォリオの軌跡とCMLが点Ｍで接することから,次の証券市場線(Security Market Line; SML)が導かれる.

$\mu_i = r + \beta_i (\mu_M - r) \ \ \ (2)\,$

ただし,

$\beta_i = \frac{\mbox{Cov}_{i,M}}{\sigma^2_M} \ \ \ (3)\,$

である.

式(2)は個別資産の期待リターンが安全利子率とリスクプレミアムに分解されることを示している.また,リスクプレミアムは市場の超過収益(市場のリスクプレミアム)を $\beta_i\,$ 倍したものになっており,この $\beta_i\,$ がリスクプレミアムの大小を決める重要なパラメータとなる.式(3)は $\beta_i\,$ の定義を示しているが,これは市場ポートフォリオと個別資産の投資収益率の共分散によって $\beta_i\,$ が決定される.すなわち,これはシステマティックリスクであり,分散投資によって除去することのできないリスクである.市場は分散不可能なシステマティックリスクにのみリスクプレミアムを支払い,分散投資により消去可能なアンシステマティックリスクに対してはプレミアムを支払わないのである.これがCAPMの結論である.

なお,SMLを図示すると図3のようになる.

$\beta = 1\,$ の資産はシステマティックリスクの大きさが市場ポートフォリオと一致し,したがって期待リターンも市場ポートフォリオの期待リターンに一致する. $\beta\,$ が1より小さい資産は市場よリローリスクローリターンであり防御的銘柄, $\beta\,$ が1より大きい資産は市場よリハイリスクハイリターンで攻撃的銘柄と分類される.

■ ゼロベータCAPM

Black(1972)は安全資産が存在しない場合の均衡モデルを提案した.効率的フロンティアの数学的特徴から,フロンティア上にある任意のポートフォリオに対して,相関がゼロ,すなわちベータがゼロとなるポートフオリオが同じ効率的フロンテイア上に必ず存在する.したがって,市場ポートフォリオMが効率的フロンテイア上にあるならば,それに対するゼロベータポートフォリオZを安全資産のかわりに用いることにより,CAPMが成立する.これをゼロベータCAPMあるいはBlack モデルとよぶ.

ゼロベータCAPMでは次のような証券市場線が導かれる.

$\mu_i = \mu z + \beta_i (\mu_M - \mu z) \ \ \ (4)\,$

ただし,

$\beta_i = \frac{\mbox{Cov}_{i,M}}{\sigma_M^2 } \ \ \ (5)\,$

である.

■ CAPMの検証

CAPMはその結論のシンプルさゆえ,古くから数多くの検証が行われてきた.その代表的なものにBlack,Jensen and Scholes(1972), Blume and Fiend(1973), Fama and MacBeth(1973)などがある.その実証手続きは主に以下のようなものである.

Step1 市場ポートフオリオの代理変数として適切な市場インデックスを1つ定める.

Step2 市場インデックス,個別株式,安全資産の月次収益率を収集する.

Step3 月々の投資収益率からその月の安全利子率を差し引いた超過収益率を求める.

Step4 個別株式の超過収益と市場インデックスの超過収益で単回帰(時系列回帰)し,各株式の $\beta\,$ 値を計測する.

Step5 $\beta\,$ の大小によリランキングされた20 銘柄程度のポートフォリオを作成する.

Step6 ポートフオリオの期待収益率を $\beta\,$ 値で単回帰(横断回帰)することで,SMLを検証する.

彼らの検証結果によるとSMLの傾きはややフラットであるものの,概ねCAPMは支持された.しかし,このような検証方法に対して Roll(1977)により大きな疑問点が提示された.その要旨は以下のようなものである.BlackのゼロベータCAPMが示すように,SMLの成立は市場ポートフォリオが効率的フロンティア上にあることと同値である.しかし,これまでの検証では市場ポートフォリオの代理変数として市場インデックスが用いられる.したがって,これまでの実証分析は分析に用いられた市場インデックスの効率性を検証していることにほかならず,これはCAPMの検証とは無関係である.真の市場ポートフォリオが用いられないかぎり,本当のCAPMの検証とはなりえない.しかし,市場ポートフォリオはその性質上,投資可能なあらゆる危険資産を含まなければならない.株式や債券のみならず実物資産や人的資本を含むすべての危険資産の構成を巌密に調べるのは不可能である.したがって,CAPMの検証は原理的には可能だが実質的には不可能である.

このような批判を受けて,Ross(1976)はCAPMに代わる新しい資産評価理として裁定価格理論(Arbitragc Pricing Theory;APT)を提案した.CAPMが単一ファクター(市場ポートフォリオ)モデルなのに対し,APTは複数ファクターモデルである.またAPTは市場ポートフォリオの存在を前提としないため,Rollの批判からは無縁である.

このようなCAPMをめぐる論争の中,株式の期待投資収益率にはCAPMでは説明されない有意な銘柄間格差があることが見つかつた.これをアノマリー現象とよぶ.Basu(1977)は高い収益株価比率(EPR)をもつポートフォリオが高いリターンを示すことを発見した.Banz(1981)は投資収益率と株式の相対時価総額(規模の尺度)の間に統計的に有意な負の関係があり,これが $\beta\,$ の説明力を上回ることを発見した. Fama and French(1992)は株式の時価総額(規模の尺度)や株価純資産倍率(PBR)の逆数がリターンをうまく説明しており,市場インデックスに対する $\beta\,$ に対して期待リターンはフラットであることを発見した.

現在もCAPMの検証をめぐる問題は,市場の効率性のチェックあるいは新たなリスクプレミアムの発見への期待と絡んでさまざまな研究が行われているが,いまだはっきりとした結論には至っていない.しかし,CAPMの検証結果が明確でないとしても,それがCAPMの理論的な価値を下げるものではない.われわれが資本市場で行動する際にCAPMが提供してくれるリスクの概念は,その検証可能性とは無関係に有用なのである.

■ 連続時間モデル

1期間モデルであるCAPMを多期間あるいは連続時間へ拡張しようとするのは自然な流れである.このとき,1期間CAPMで導かれたリターンと $\beta\,$ の線形関係が維持されるかどうかが最大の論点となる.

Merton(1973)は資産評価モデルに初めて連続時間のフレームワークを導入した.彼のICAPM (Intertemporal CAPM)では連続的な資産の取引を想定し,第 $i\,$ 資産の価格 $P_i\,$ が次の伊藤過程に従うものと仮定する.

$\frac{\mbox{d}P_i}{P_i} = \mu_i (x) \mbox{d}t + \sigma_i (x)\mbox{d} z_i \ \ \ (6)\,$

ただし, $\mu_i\,$ は資産 $i\,$ の期待収益率, $x\,$ は状態変数, $\sigma^2_i\,$ は収益率の分散である.

また,状態変数 $x\,$ も１次元伊藤過程

$\mbox{d} x = m(x) \mbox{d} t + s(x) \mbox{d}z_x \ \ \ (7)\,$

に従うものとする.

次に,投資家kは時点tにおける消費 $c_{k,t}\,$ から効用を得るものと考え,以下のような効用の時間積分の期待値を考える.

$\mbox{E} \Bigg[ \int_0^T u_k (c_{k,t} , x, t) \mbox{d}t \Bigg] \ \ \ (8)\,$

この期待効用の最大化問題を解くことにより,最適ポートフォリオ戦略 $w k$ は次のように導かれる.

$\boldsymbol{w}_k = A_k [\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1})]\boldsymbol{w}_T + H_k [\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\sigma}_x]\boldsymbol{w}_H \ \ \ (9)\,$

ただし,

$\boldsymbol{w}_T = \frac{\boldsymbol{V}^{-1} (\mu -r\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1}) } \ \ \ (10)\,$

$\boldsymbol{w}_H = \frac{\boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\sigma}_x}{\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\sigma}_x } \ \ \ (11)\,$

である.ここで $A_k\,$ は投資家kの相対リスク回避度(ARR), $\boldsymbol{V}\,$ は資産の価格変化率の共分散行列, $H_k\,$ は投資家kの状態変数 $x\,$ に対する選好を表すパラメータ, $\boldsymbol{\sigma}_x\,$ は各資産変化率と状態変数 $x\,$ との共分散ベクトルである.式(10)が示す $\boldsymbol{w}_T\,$ は効率的フロンティア上の接点ポートフォリオであり,式(11)が示す $\boldsymbol{w}_H\,$ は状態変数 $x\,$ との相関が最大となるポートフォリオである.式(9)により3資産分離定理が導かれる.すなわち,投資家は安全資産,接点ポートフォリオ $\boldsymbol{w}_r\,$ ,ヘッジポートフォリオ $\boldsymbol{w}_H\,$ に投資するのである.

最後にICAPMが導く期待リターンとリスクプレミアムの関係式を示そう.

$\mu_i = r + \beta_{i,T} \lambda_T + \beta_{i,x} \lambda_x \ \ \ (12)\,$

ここで $\beta_{i,T}\,$ は接点ポートフォリオとの $\beta\,$ 値, $\lambda_T\,$ は接点ポートフォリオのリスクプレミアム（期待超過リターン), $\beta_{i,x}\,$ は状態変数 $x\,$ に対するヘッジポートフォリオの $\beta\,$ 値, $\lambda_x\,$ はヘッジポートフォリオのリスクプレミアムである.

これまで状態変数 $x\,$ はスカラーであると仮定してきたが, これが $s\,$ 次元ベクトルである場合には,

$\mu_i = r + \beta_{i,T} \lambda_T + \sum_{x=1}^s \beta_{i,x} \lambda_x \ \ \ (13)\,$

となる.このモデルはマルチベータモデルとも呼ばれる.

参考文献

[1] Black,F.(1972),"Capital market equilibrium with restricted borrowing," Journal of Business,45,444-455.

[2] Black,F.,M.C. Jensen and M.Scholes (1972), "The capital asset pricing model: Some empirical tests," in Jensen,M.C. ed., Studies inTheory of Capital Markets, Praeger.

[3] Blume,M.E. and I.Friend (1973),"A new look at the capital asset pricing model," Journal of Finance, 28, 19-33.

[4] Fama, E.F. and J. MacBeth (1973), "Rish return, and equilibrium: Empirical Tests:" Journal of PolititcalEconomy,81.

[5] Fama E.F. and K.R. French (1992), "The cross section of expected stock returns," Journal of Finance, 47,427-466.

[6] Lintner, J. (1965), "Ihe valuation of risky assets and the selection of risky assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets,"Review of Economics and Statistics, 47, 13-37.

[7] Merton, R. (1973), "An intertemporal capital asset pricing model," Econometrica, 4l, 867-887.

[8] Mossin, J. (1966), "Equilibrium in a capital asset market," Econometrica, 34, 768-783.

[9] Roll, R. (1977), "A critique of the asset pricing theory's tests : Part I : On past and potential testability of the theory," Journal of Financial Economics, 4.

[10] Ross,R. (19?6), "the arbitrage theory of capital asset pricing," Journal of Economic Theory, l3.

[11] Sharpe,W.F. (1964), "Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk," Journal of Finance, 19, 425-442.

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