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石油/天然ガス用語辞典
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圧入指数

読み方： あつにゅうしすう
【英】: injectivity index
略語: II

二・三次採収法などで坑井（圧入井）から地層内に流体を圧入する場合、その圧入難易度を表す指数で、一般に II と呼ばれる。II は流体の圧入レートとそのときに必要な圧入圧力を関係づける指標となるもので、次式で表現される。
II＝qi／Pwf－PR） 〔kL/d/（kg/cm2）〕または〔b/d/psi〕
qi：圧入レート 〔kL/d〕または〔b/d〕
Pwf：圧入坑底圧力 〔kg/cm2〕または〔psi〕 すなわち流体が圧入されている状態における坑底圧
PR：油層圧 〔kg/cm2〕または〔psi〕
II は常に一定の値ではなく、圧入を続けていく過程で変化するものであるが、その値が大きな圧入井は流体の圧入が容易であるといえる。

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第二肋骨

読み方：だいにろくこつ
【英】：Costa secunda,II,Second rib

第２肋骨は第１肋骨と第３肋骨との中間形を示している。ただ肋骨溝に相当する溝が上面にも現れる。

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II

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/09/06 21:13 UTC 版)

II, ii

iのi乗

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/03/01 12:37 UTC 版)

(Ⅱ･ から転送)

数学において i の i 乗（iのiじょう）、i^i \, とはある可算無限個の正の実数である。i は虚数単位であり、e をネイピア数、π を円周率、n を任意の整数とすると

i^i = e^ {- \frac{(4n+1) \pi}{2}}

である。n = 0 としたとき、i^i \, は主値 e^{- \frac{\pi}{2}} = 0.20787957... をとる (オンライン整数列大辞典の数列 A49006)。

目次

計算の方法

オイラーの公式を用いて i^i \, の底の i だけを指数で表す。まず i の偏角はラジアンで \frac {\pi}{2} + 2n \pi であるので

i = \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2n \pi \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2} + 2n \pi \right)

となる。オイラーの公式では x を任意の実数とすると

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,

であり、x = \frac{\pi}{2} + 2n \pi とおくと

e^{i (\frac{\pi}{2} + 2n \pi)} = i

が得られる。ここから両辺を i 乗すると

(e^{i (\frac{\pi}{2} + 2n \pi)})^i = i^i

指数法則が複素数の範囲でも成り立つと仮定すると

e^{i^2 \cdot (\frac{\pi}{2} + 2n \pi)} = i^i

i^2 = -1 \, であるので整理すると

i^i = e^{- (\frac{\pi}{2} + 2n \pi)} = e^ {- \frac{(4n+1) \pi}{2}}

n = ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ...　とおくと

i^i = ... , e^{\frac{7 \pi}{2}} , e^{\frac{3 \pi}{2}} , e^{-\frac{\pi}{2}} , e^{-\frac{5 \pi}{2}} , e^{-\frac{9 \pi}{2}} , ...

と計算できる。

数学的性質

i^i \, はどれも正の実数であるが、 e^{- (\frac{\pi}{2} + 2n \pi)} の整数 n を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になりうる。また n を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になりうる。したがって i^i \, には最大値も最小値も存在しないことが示される。

i^i \, の主値 e^{- \frac{\pi}{2}} は

e^{- \frac{\pi}{2}} = (e^{i \pi})^{\frac{i}{2}} = (-1)^{\frac{i}{2}}

であるから、ゲルフォント=シュナイダーの定理より、超越数であり、無理数である。同様に他の i^i \, の値も超越数である。

なお (-i)^{(-i)} \, も

(-i)^{(-i)} = (e^{i (- \frac { \pi}{2} + 2n \pi)})^{(-i)} = e^{- (\frac{\pi}{2} - 2n \pi)}

なので、 (-i)^{(-i)} = i^i \, である。

テトレーション i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}} の極限値は実数ではない複素数に収束する。（Macintyre 1966）

i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}} = - \frac{ W(- \log i)}{ \log i} = \frac{2i}{\pi} W(- \frac{ \pi}{2} i) \approx 0.438283 + 0.3605924 \cdot i

W はランベルトのW関数である。

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